Identidade de jacobi

De Nerdyard

Identidade de Jacobi

No formalismo da Mecânica Clássica, em especial no contexto das transformações canônicas, os Parênteses de Poisson de duas funções A e B das variáveis canônicas posição q_i e momento p_j, onde A = A(q_1 ,q_2 ,...,q_n ;p_1 ,p_2 ,..., p_n ;t) e B = B(q_1 ,q_2 ,...,q_n ;p_1 ,p_2 ,..., p_n ;t) são definidos como [1]:

\{A,B\} = \sum_{k} \left( \frac{\partial A}{\partial q_k} \frac{\partial B}{\partial p_k} - \frac{\partial A}{\partial p_k}\frac{\partial B}{\partial q_k} \right).

As funções A e B são por vezes caracterizadas como variáveis dinâmicas na Mecânica Hamiltoniana. Vale observar que os Parênteses de Poisson surgem de modo natural no que se refere à equação que rege o movimento de uma variável dinâmica arbitrária [2]. Dentre as diversas propriedades algébricas dos Parênteses de Poisson, por exemplo, linearidade, anticomutatividade e regra da cadeia, uma propriedade em particular merece um pouco mais de atenção - a chamada Identidade de Jacobi:

\{\{A,B\},C\} + \{\{C,A\},B\} + \{\{B,C\},A\} = 0.

Esta propriedade, largamente usada nos cursos de Mecânica Clássica 2 ou Mecânica Analítica, é raramente demonstrada nos livros textos que tratam do assunto devido o trabalho necessário nas manipulações algébricas envolvidas. O intuito aqui então será desenvolver uma demonstração desta interessante propriedade que possui seu equivalente na Mecânica Quântica, definido em termos da álgebra de comutadores.

Observe que esta demonstração será guiada no sentido de mostrar efetivamente que a soma dos três termos indicados na equação acima de fato é nula. Deste modo, faremos uso direto dos parêntese de Poisson.

Considere inicialmente cada termo presente na identidade de Jacobi separadamente. Note que como todos estes termos possuem uma estrutura muito parecida, a idéia aqui consistirá em simplificar ao máximo um deles e, como consequência dessa semelhança intrínseca, estabelecer um vínculo entre os demais. Começando pelo primeiro termo, dada a definição dos parêntese de Poisson, temos:

\{\{A,B\},C\} = \sum_{m} \left( \frac{\partial \{A,B\}}{\partial q_m} \frac{\partial C}{\partial p_m} - \frac{\partial \{A,B\}}{\partial p_m}\frac{\partial C}{\partial q_m} \right) .

No intuito de simplificar um pouco a demonstração, vamos adotar a seguinte definição:

x^{a}_{m} = (x^{1}_ {m},x^{2}_{m}) = (q_m ,p_m) .

Dada a equação anterior, considerando ambas derivadas parciais em relação às variáveis canonicamente conjugadas q_m e p_m, já usando a definição feita no parágrafo acima, podemos escrever:

 \frac{\partial \{A,B\}}{\partial x^{a}_{m}} =  \frac{\partial}{\partial x^{a}_{m}} \left[\sum_{k} \left( \frac{\partial A}{\partial q_k} \frac{\partial B}{\partial p_k} - \frac{\partial A}{\partial p_k}\frac{\partial B}{\partial q_k} \right)  \right]

\frac{\partial \{A,B\}}{\partial x^{a}_{m}} = \sum_k \left[ \frac{\partial}{\partial x^{a}_{m}} \left( \frac{\partial A}{\partial q_k} \frac{\partial B}{\partial p_k} \right) -  \frac{\partial}{\partial x^{a}_{m}} \left( \frac{\partial A}{\partial p_k}\frac{\partial B}{\partial q_k} \right)  \right].

Substituindo a equação acima na expressão do primeiro termo na identidade de Jacobi, encontramos o seguinte resultado:

\{\{A,B\},C\} = \sum_{m} \sum_{k} \bigg\lbrace \frac{\partial}{\partial q_{m}} \left( \frac{\partial A}{\partial q_k} \frac{\partial B}{\partial p_k} \right) \frac{\partial C}{\partial p_m}  -  \frac{\partial}{\partial q_{m}} \left( \frac{\partial A}{\partial p_k} \frac{\partial B}{\partial q_k} \right)\frac{\partial C}{\partial p_m} + \\- \frac{\partial}{\partial p_{m}} \left( \frac{\partial A}{\partial q_k} \frac{\partial B}{\partial p_k} \right) \frac{\partial C}{\partial q_m} + \frac{\partial}{\partial p_{m}} \left( \frac{\partial A}{\partial p_k} \frac{\partial B}{\partial q_k} \right)\frac{\partial C}{\partial q_m} \bigg\rbrace.

Observe que a podemos aplicar a regra do produto para as derivadas dos termos entre parênteses indicados na equação acima. Com um pouco de paciência, ao fazer estas simples manipulações algébricas obtemos o seguinte resultado:

\{\{A,B\},C\} = \sum_{m} \sum_{k} \bigg\lbrace \frac{\partial^ 2 A}{\partial q_{m} \partial q_k} \frac{\partial B}{\partial p_k}\frac{\partial C}{\partial p_m} +   \frac{\partial A}{\partial q_k}\frac{\partial^2 B}{\partial q_{m} \partial p_k} \frac{\partial C}{\partial p_m} - \frac{\partial^ 2 A}{\partial q_{m} \partial p_k} \frac{\partial B}{\partial q_k}\frac{\partial C}{\partial p_m} -  \frac{\partial A}{\partial p_k}\frac{\partial^2 B}{\partial q_{m} \partial q_k} \frac{\partial C}{\partial p_m} +  - \frac{\partial^ 2 A}{\partial p_{m} \partial q_k} \frac{\partial B}{\partial p_k}\frac{\partial C}{\partial q_m} - \frac{\partial A}{\partial q_k}\frac{\partial^2 B}{\partial p_{m} \partial p_k} \frac{\partial C}{\partial q_m} + \frac{\partial^ 2 A}{\partial p_{m} \partial p_k} \frac{\partial B}{\partial q_k}\frac{\partial C}{\partial q_m} + \frac{\partial A}{\partial p_k}\frac{\partial^2 B}{\partial p_{m} \partial q_k} \frac{\partial C}{\partial q_m}   \bigg\rbrace.

Dada a semelhança sutil na estrutura dos demais termos presentes na Identidade de Jacobi, vamos repetir o procedimento desenvolvido acima para cada um deles. Note que para manter a generalidade na demonstração, devemos indexar as novas somas com índices distintos daqueles obtidos na equação anterior. Tomando todos os devidos cuidados, encontramos o seguinte resultado para o segundo termo na Identidade de Jacobi:

\{\{C,A\},B\} = \sum_{n} \sum_{l} \bigg\lbrace \frac{\partial^ 2 C}{\partial q_{n} \partial q_{l}} \frac{\partial A}{\partial p_{l}}\frac{\partial B}{\partial p_n} +   \frac{\partial C}{\partial q_{l}}\frac{\partial^2 A}{\partial q_{n} \partial p_{l}} \frac{\partial B}{\partial p_n} - \frac{\partial^ 2 C}{\partial q_{n} \partial p_l} \frac{\partial A}{\partial q_l}\frac{\partial B}{\partial p_n} -  \frac{\partial C}{\partial p_l}\frac{\partial^2 A}{\partial q_{n} \partial q_l} \frac{\partial B}{\partial p_n} -  \frac{\partial^ 2 C}{\partial p_{n} \partial q_l} \frac{\partial A}{\partial p_l}\frac{\partial B}{\partial q_n} - \frac{\partial C}{\partial q_l}\frac{\partial^2 A}{\partial p_{n} \partial p_l} \frac{\partial B}{\partial q_n} +  + \frac{\partial^ 2 C}{\partial p_{n} \partial p_l} \frac{\partial A}{\partial q_l}\frac{\partial B}{\partial q_n} + \frac{\partial C}{\partial p_l}\frac{\partial^2 A}{\partial p_{n} \partial q_l} \frac{\partial B}{\partial q_n}   \bigg\rbrace.

Finalmente, procedendo de maneira análoga em relação ao terceiro termo na Identidade de Jacobi, tomando novos índices para as somas, obtemos a expressão dada a seguir>

\{\{B,C\},A\} = \sum_{r} \sum_{s} \bigg\lbrace \frac{\partial^ 2 B}{\partial q_{r} \partial q_{s}} \frac{\partial C}{\partial p_{s}}\frac{\partial A}{\partial p_r} +   \frac{\partial B}{\partial q_{s}}\frac{\partial^2 C}{\partial q_{r} \partial p_{s}} \frac{\partial A}{\partial p_r} - \frac{\partial^ 2 B}{\partial q_{r} \partial p_s} \frac{\partial C}{\partial q_s}\frac{\partial A}{\partial p_r} -  \frac{\partial B}{\partial p_s}\frac{\partial^2 C}{\partial q_{r} \partial q_s} \frac{\partial A}{\partial p_r} -  \frac{\partial^ 2 B}{\partial p_{r} \partial q_s} \frac{\partial C}{\partial p_s}\frac{\partial A}{\partial q_r} - \frac{\partial B}{\partial q_s}\frac{\partial^2 C}{\partial p_{r} \partial p_s} \frac{\partial A}{\partial q_r} +  + \frac{\partial^ 2 B}{\partial p_{r} \partial p_s} \frac{\partial C}{\partial q_s}\frac{\partial A}{\partial q_r} + \frac{\partial B}{\partial p_s}\frac{\partial^2 C}{\partial p_{r} \partial q_s} \frac{\partial A}{\partial q_r}   \bigg\rbrace.

Dados os resultados apresentados nas equações acima, obtidos mediante um pouco de esforço e algumas manipulações algébricas, vamos agora substituí-los na equação que representa a identidade de Jacobi e checar se de fato ela se verifica como consequência dos cálculos desenvolvidos até agora. Neste sentido, encontramos a seguinte expressão:

\{\{A,B\},C\} + \{\{C,A\},B\} + \{\{B,C\},A\} = \\ = \sum_{m} \sum_{k} \bigg\lbrace \frac{\partial^ 2 A}{\partial q_{m} \partial q_k} \frac{\partial B}{\partial p_k}\frac{\partial C}{\partial p_m} +   \frac{\partial A}{\partial q_k}\frac{\partial^2 B}{\partial q_{m} \partial p_k} \frac{\partial C}{\partial p_m} - \frac{\partial^ 2 A}{\partial q_{m} \partial p_k} \frac{\partial B}{\partial q_k}\frac{\partial C}{\partial p_m} -  \frac{\partial A}{\partial p_k}\frac{\partial^2 B}{\partial q_{m} \partial q_k} \frac{\partial C}{\partial p_m} +  - \frac{\partial^ 2 A}{\partial p_{m} \partial q_k} \frac{\partial B}{\partial p_k}\frac{\partial C}{\partial q_m} - \frac{\partial A}{\partial q_k}\frac{\partial^2 B}{\partial p_{m} \partial p_k} \frac{\partial C}{\partial q_m}  + \frac{\partial^ 2 A}{\partial p_{m} \partial p_k} \frac{\partial B}{\partial q_k}\frac{\partial C}{\partial q_m} + \frac{\partial A}{\partial p_k}\frac{\partial^2 B}{\partial p_{m} \partial q_k} \frac{\partial C}{\partial q_m}   \bigg\rbrace  +  \sum_{n} \sum_{l} \bigg\lbrace \frac{\partial^ 2 C}{\partial q_{n} \partial q_{l}} \frac{\partial A}{\partial p_{l}}\frac{\partial B}{\partial p_n} +   \frac{\partial C}{\partial q_{l}}\frac{\partial^2 A}{\partial q_{n} \partial p_{l}} \frac{\partial B}{\partial p_n} - \frac{\partial^ 2 C}{\partial q_{n} \partial p_l} \frac{\partial A}{\partial q_l}\frac{\partial B}{\partial p_n} +  - \frac{\partial C}{\partial p_l}\frac{\partial^2 A}{\partial q_{n} \partial q_l} \frac{\partial B}{\partial p_n}  -  \frac{\partial^ 2 C}{\partial p_{n} \partial q_l} \frac{\partial A}{\partial p_l}\frac{\partial B}{\partial q_n} - \frac{\partial C}{\partial q_l}\frac{\partial^2 A}{\partial p_{n} \partial p_l} \frac{\partial B}{\partial q_n} + \frac{\partial^ 2 C}{\partial p_{n} \partial p_l} \frac{\partial A}{\partial q_l}\frac{\partial B}{\partial q_n} + \frac{\partial C}{\partial p_l}\frac{\partial^2 A}{\partial p_{n} \partial q_l} \frac{\partial B}{\partial q_n}   \bigg\rbrace + \sum_{r} \sum_{s} \bigg\lbrace \frac{\partial^ 2 B}{\partial q_{r} \partial q_{s}} \frac{\partial C}{\partial p_{s}}\frac{\partial A}{\partial p_r} +   \frac{\partial B}{\partial q_{s}}\frac{\partial^2 C}{\partial q_{r} \partial p_{s}} \frac{\partial A}{\partial p_r} + - \frac{\partial^ 2 B}{\partial q_{r} \partial p_s} \frac{\partial C}{\partial q_s}\frac{\partial A}{\partial p_r} -  \frac{\partial B}{\partial p_s}\frac{\partial^2 C}{\partial q_{r} \partial q_s} \frac{\partial A}{\partial p_r} -  \frac{\partial^ 2 B}{\partial p_{r} \partial q_s} \frac{\partial C}{\partial p_s}\frac{\partial A}{\partial q_r} - \frac{\partial B}{\partial q_s}\frac{\partial^2 C}{\partial p_{r} \partial p_s} \frac{\partial A}{\partial q_r} + \frac{\partial^ 2 B}{\partial p_{r} \partial p_s} \frac{\partial C}{\partial q_s}\frac{\partial A}{\partial q_r} + \frac{\partial B}{\partial p_s}\frac{\partial^2 C}{\partial p_{r} \partial q_s} \frac{\partial A}{\partial q_r}   \bigg\rbrace.

Há um detalhe importante a ser observado. Cada termo presente na Identidade de Jacobi foi reescrito em termos de somas associadas às variáveis canonicamente conjugadas posição q_i e momento linear p_j. Estas somas foram então indexadas de modo diferente no intuito de preservar a generalidade da demonstração. Mas observe que podemos estabelecer uma correlação entre os pares de índices nas somas presentes em cada termo, sem perder este caráter geral. Isto se deve ao fato de que estes índices são mudos na soma, independentemente da soma em questão. Vamos indexar as somas na equação anterior de tal forma que n = r = k e l = s =m. Reescrevendo então o resultado em termos de uma única soma, encontramos a expressão seguinte:

\{\{A,B\},C\} + \{\{C,A\},B\} + \{\{B,C\},A\} = \sum_{m} \sum_{k} \bigg\lbrace \frac{\partial^ 2 A}{\partial q_{m} \partial q_k} \frac{\partial B}{\partial p_k}\frac{\partial C}{\partial p_m} +   \frac{\partial A}{\partial q_k}\frac{\partial^2 B}{\partial q_{m} \partial p_k} \frac{\partial C}{\partial p_m} - \frac{\partial^ 2 A}{\partial q_{m} \partial p_k} \frac{\partial B}{\partial q_k}\frac{\partial C}{\partial p_m} -  \frac{\partial A}{\partial p_k}\frac{\partial^2 B}{\partial q_{m} \partial q_k} \frac{\partial C}{\partial p_m} +  - \frac{\partial^ 2 A}{\partial p_{m} \partial q_k} \frac{\partial B}{\partial p_k}\frac{\partial C}{\partial q_m} - \frac{\partial A}{\partial q_k}\frac{\partial^2 B}{\partial p_{m} \partial p_k} \frac{\partial C}{\partial q_m} + \frac{\partial^ 2 A}{\partial p_{m} \partial p_k} \frac{\partial B}{\partial q_k}\frac{\partial C}{\partial q_m} + \frac{\partial A}{\partial p_k}\frac{\partial^2 B}{\partial p_{m} \partial q_k} \frac{\partial C}{\partial q_m} +  \frac{\partial^ 2 C}{\partial q_{k} \partial q_{m}} \frac{\partial A}{\partial p_{m}}\frac{\partial B}{\partial p_k} +   \frac{\partial C}{\partial q_{m}}\frac{\partial^2 A}{\partial q_{k} \partial p_{m}} \frac{\partial B}{\partial p_k} - \frac{\partial^ 2 C}{\partial q_{k} \partial p_m} \frac{\partial A}{\partial q_m}\frac{\partial B}{\partial p_k} +  -  \frac{\partial C}{\partial p_m}\frac{\partial^2 A}{\partial q_{k} \partial q_m} \frac{\partial B}{\partial p_k} -  \frac{\partial^ 2 C}{\partial p_{k} \partial q_m} \frac{\partial A}{\partial p_m}\frac{\partial B}{\partial q_k} - \frac{\partial C}{\partial q_m}\frac{\partial^2 A}{\partial p_{k} \partial p_m} \frac{\partial B}{\partial q_k} + \frac{\partial^ 2 C}{\partial p_{k} \partial p_m} \frac{\partial A}{\partial q_m}\frac{\partial B}{\partial q_k} + \frac{\partial C}{\partial p_m}\frac{\partial^2 A}{\partial p_{k} \partial q_m} \frac{\partial B}{\partial q_k} + \frac{\partial^ 2 B}{\partial q_{k} \partial q_{m}} \frac{\partial C}{\partial p_{m}}\frac{\partial A}{\partial p_k} +   \frac{\partial B}{\partial q_{k}}\frac{\partial^2 C}{\partial q_{m} \partial p_{k}} \frac{\partial A}{\partial p_m} +  - \frac{\partial^ 2 B}{\partial q_{k} \partial p_m} \frac{\partial C}{\partial q_m}\frac{\partial A}{\partial p_k} -  \frac{\partial B}{\partial p_k}\frac{\partial^2 C}{\partial q_{m} \partial q_k} \frac{\partial A}{\partial p_m} -  \frac{\partial^ 2 B}{\partial p_{k} \partial q_m} \frac{\partial C}{\partial p_m}\frac{\partial A}{\partial q_k} - \frac{\partial B}{\partial q_m}\frac{\partial^2 C}{\partial p_{k} \partial p_m} \frac{\partial A}{\partial q_k} + \frac{\partial^ 2 B}{\partial p_{k} \partial p_m} \frac{\partial C}{\partial q_m}\frac{\partial A}{\partial q_k} + \frac{\partial B}{\partial p_k}\frac{\partial^2 C}{\partial p_{m} \partial q_k} \frac{\partial A}{\partial q_m}   \bigg\rbrace.

Para concluir a demonstração, após uma análise cuidadosa da equação anterior, vamos agrupar aqueles termos que possuam derivadas parciais em comum, dado nosso objetivo de simplificação do problema. Fazendo as devidas manipulações algébricas neste sentido, encontramos o resultado:

\{\{A,B\},C\} + \{\{C,A\},B\} + \{\{B,C\},A\} = \sum_{m} \sum_{k} \bigg\lbrace \frac{\partial B}{\partial p_k} \left( \frac{\partial^ 2 A}{\partial q_{m} \partial q_k} - \frac{\partial^ 2 A}{\partial q_{k} \partial q_m} \right) \frac{\partial C}{\partial p_m} +   \frac{\partial A}{\partial q_k} \left( \frac{\partial^ 2 B}{\partial q_{m} \partial p_k} - \frac{\partial^ 2 B}{\partial p_{k} \partial q_m} \right) \frac{\partial C}{\partial p_m}  +  + \frac{\partial C}{\partial p_m} \left( \frac{\partial^ 2 A}{\partial p_{k} \partial q_m} - \frac{\partial^ 2 A}{\partial q_{m} \partial p_k} \right) \frac{\partial B}{\partial q_k} + \frac{\partial C}{\partial p_m} \left( \frac{\partial^ 2 B}{\partial q_{k} \partial q_m} - \frac{\partial^ 2 B}{\partial q_{m} \partial q_k} \right) \frac{\partial A}{\partial p_k} + \frac{\partial B}{\partial p_k} \left( \frac{\partial^ 2 A}{\partial q_{k} \partial p_m} - \frac{\partial^ 2 A}{\partial p_{m} \partial q_k} \right) \frac{\partial C}{\partial q_m} + \frac{\partial A}{\partial q_k} \left( \frac{\partial^ 2 B}{\partial p_{k} \partial p_m} - \frac{\partial^ 2 B}{\partial p_{m} \partial p_k} \right) \frac{\partial C}{\partial q_m} +  + \frac{\partial A}{\partial p_k} \left( \frac{\partial^ 2 B}{\partial p_{m} \partial q_k} - \frac{\partial^ 2 B}{\partial q_{k} \partial p_m} \right) \frac{\partial C}{\partial q_m} + \frac{\partial A}{\partial p_k} \left( \frac{\partial^ 2 C}{\partial q_{k} \partial q_m} - \frac{\partial^ 2 C}{\partial q_{m} \partial q_k} \right) \frac{\partial B}{\partial p_m} + \frac{\partial B}{\partial p_k} \left( \frac{\partial^ 2 C}{\partial p_{m} \partial q_k} - \frac{\partial^ 2 C}{\partial q_{k} \partial p_m} \right) \frac{\partial A}{\partial q_m} + \frac{\partial B}{\partial q_k} \left( \frac{\partial^ 2 C}{\partial q_{m} \partial p_k} - \frac{\partial^ 2 C}{\partial p_{k} \partial q_m} \right) \frac{\partial A}{\partial p_m} +  + \frac{\partial A}{\partial q_m} \left( \frac{\partial^ 2 C}{\partial p_{k} \partial p_m} - \frac{\partial^ 2 C}{\partial p_{m} \partial p_k} \right) \frac{\partial B}{\partial q_k} +  \frac{\partial B}{\partial q_k} \left( \frac{\partial^ 2 A}{\partial p_{m} \partial p_k} - \frac{\partial^ 2 A}{\partial p_{k} \partial p_m} \right) \frac{\partial C}{\partial q_m} \bigg\rbrace.

Dada uma função diferenciável F = F(q_1 ,q_2 ,...,q_n ;p_1 ,p_2 ,..., p_n ;t), partindo do Lema de Schwarz no que se refere a independência na ordem da diferenciação, são válidas as seguintes igualdades:

\frac{\partial^ 2 F}{\partial q_{m} \partial q_k} = \frac{\partial^ 2 F}{\partial q_{k} \partial q_m},

\frac{\partial^ 2 F}{\partial p_{m} \partial p_k} = \frac{\partial^ 2 F}{\partial p_{k} \partial p_m},

\frac{\partial^ 2 F}{\partial q_{k} \partial p_m} = \frac{\partial^ 2 F}{\partial p_{m} \partial q_k}.

Neste sentido, estabelecendo a última destas igualdades à equação obtida anteriormente, observe que todo o lado direito da referida equação se anulará. Assim, após esta série de manipulações algébricas demonstramos um importante resultado da Mecânica Clássica no âmbito das transformações canônicas, a identidade de Jacobi:

\{\{A,B\},C\} + \{\{C,A\},B\} + \{\{B,C\},A\} = 0.


Referências Bibliográficas

[1] H. Goldstein, C. P. Poole, J. L. Safko, Classical Mechanics, 3 ed., Addison Wesley, 2001.

[2] N. A. Lemos, Mecânica Analítica, 2 ed., São Paulo, Editora Livraria da Física, 2007.


Observações

1. Alguns autores se referem aos Parênteses de Poisson como colchetes de Poisson; efetivamente, não há diferença alguma.

2. Uma demonstração extremamente concisa e elegante da Identidade de Jacobi pode ser encontrada no capítulo 8, seções 8.4 e 8.5, da referência [2]. Note que o autor recorre a transformações canônicas infinitesimais para obter o resultado.

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