Uma relação útil para denominadores singulares

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Consideremos a função complexa

onde é uma quantidade real, positiva e infinitesimal. Tipicamente, essa função aparece dentro de integrais como, por exemplo,

onde é uma função de real, com e reais tais que

Olhemos, agora, esta representação da função delta de Dirac:

Podemos manipular o membro direito dessa expressão assim:

isto é,

Como

segue que

Resta entendermos o significado do primeiro integrando do membro direito dessa equação. Sempre que

temos

quando . No entanto, no único ponto em que

temos

e, portanto,

onde o símbolo indica que se deve tomar apenas a parte principal da integral que o segue. Com isso, o limite que procuramos pode ser escrito como

que, com um certo abuso notacional, pode ser indicado assim:

Abusando ainda mais, podemos até mesmo escrever a fórmula útil:



😎

Música desta postagem: Souvenir de Paganini de Frédéric Chopin, por Tobias Sing

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