Uma lagrangeana para a corda vibrante

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Pense em uma corda de comprimento presa em suas extremidades ao longo de uma linha horizontal, que vamos tomar como sendo o eixo Então, a corda não se move nos pontos e No entanto, em um ponto intermediário, isto é, para entre e a corda não precisa estar ao longo da horizontal. Se a corda vibra, em cada instante de tempo a posição da corda para cada entre e pode estar localizada fora da linha horizontal. Para facilitar as coisas, vamos supor que a corda apenas vibre ao longo da direção vertical, que tomaremos como o eixo Seja a coordenada da corda calculada no ponto e no instante Seja a densidade linear de massa da corda. Então, um pequeno elemento da corda, de comprimento tem massa Como a corda vibrante, em cada instante de tempo fixo, é descrita por uma função contínua de no intervalo segue que o elemento deve estar sendo movido pela ação das forças exercidas pelos outros elementos da corda. De fato, deve haver uma tensão na corda, cujo módulo vamos chamar de que tem a mesma intensidade em cada ponto da corda, mas que muda de direção ao longo da forma assumida pela corda conforme vibra. Vamos parametrizar a corda com seu próprio comprimento medido a partir de Então, o versor tangente à corda é dado por

onde

é o vetor posição de um ponto sobre a corda com coordenadas e Note que é mesmo um versor, pois

por definição. Como é uma função de isto é, então, é uma função de também. Então, podemos pensar que temos um versor tangente para cada ponto e, portanto, temos A tensão que a corda exerce sobre o elemento no ponto é dada por já que o elemento deve ser puxado pela corda que está ocupando os pontos com abscissas menores do que Analogamente, o elemento também deve ser puxado pelo restante da corda ocupando os pontos com abscissas maiores do que e, então, a tensão que a corda exerce sobre no ponto é dada por A tensão resultante sobre o elemento de corda de comprimento é dada, portanto, por

isto é,

Como, por hipótese, a corda só vibra ao longo da direção vertical, devemos ter

e, portanto, como

isto é,

onde é uma constante adimensional. Logo,

Isso tudo foi feito para o instante que consideramos fixo. Agora, para cada instante de para evitar confusão, devemos utilizar derivadas parciais com relação a e a força resultante sobre o elemento fica

Veja que é um número pequeno, pois,

Vamos supor que as vibrações da corda sejam tais que

e, portanto,

Sendo assim,

Vamos ignorar o peso da corda comparado com a tensão. Nesse caso, a aceleração vertical da corda é dada por

e, para o elemento cuja massa é a segunda lei de Newton dá

isto é,

ou seja,

que é a equação de onda em uma dimensão. Veja que a velocidade de propagação da onda na corda é dada por

Mas aqui queremos escrever uma lagrangeana para a corda vibrante, através da qual a equação de onda acima seja consequência da equação de Lagrange.

Ao invés de fazermos uma formulação em termos de meios contínuos para a lagrangeana, vou adotar a abordagem do livro do Symon {[}1{]} e decompor em série de Fourier, isto é,

já que a corda deve ter em seus extremos nos pontos e em todo instante de tempo, por hipótese. Veja que agora temos infinitas coordenadas generalizadas, que são os coeficientes de Fourier de obtidos em cada instante de tempo A equação de onda dá, com o uso da Eq. (1), uma infinidade de equações de movimento:

isto é,

para Assim, para cada temos um oscilador harmônico.

Usando a Eq. (1), podemos escrever a energia cinética total da corda como

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Então, vemos que tudo se passa como se tivéssemos infinitas partículas de massas iguais a cada uma na posição ao longo de uma só dimensão. Da Eq. (2), vemos que a frequência de cada uma dessas partículas é dada por

e, portanto, a energia potencial total desse sistema de osciladores harmônicos desacoplados é dada por

isto é,

Então, a lagrangeana que estamos procurando é obtida subtraindo a Eq. (5) da Eq. (3):

Como, usando a Eq. (6), obtemos

e

então, a equação de Lagrange,

implica em

isto é,

ou seja,

para que é justamente o resultado dado pela Eq. (2). Reconhecendo como sendo dado pela Eq. (1), se multiplicarmos a Eq. (2) por e somarmos sobre os valores de desde até obteremos novamente a equação de onda, o que mostra que a lagrangeana da Eq. (6) é adequada.

Também podemos deduzir a energia potencial usando a formulação em termos das forças generalizadas. Então, fazendo um deslocamento virtual do elemento da corda de comprimento e integrando ao longo de todo o comprimento da corda, obtemos o trabalho virtual:

onde já estou usando Como temos infinitas coordenadas generalizadas, o trabalho virtual é escrito em termos das forças generalizadas como

onde é o deslocamento virtual da -ésima coordenada generalizada. Da Eq. (1) seguem

e

Substituindo as Eqs. (9) e (10) na Eq. (7), obtemos

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Comparando a Eq. (11) com a Eq. (8), encontramos as forças generalizadas como

A Eq. (12) mostra que pode ser obtida de uma energia potencial dada por

já que é facilmente verificado que

Note que a Eq. (13) coincide com a Eq. (5) obtida acima.

Outra maneira de encontrar uma expressão para a energia potencial na corda é ainda através da Eq. (7), mas agora considere o fato de que o deslocamento virtual é nulo nos extremos fixos da corda. Então, podemos escrever a Eq. (7) assim:

isto é,

ou seja,

Note agora que uma variação virtual de qualquer quantidade é obtida fazendo, na expressão da quantidade, a variação de para Então,

Substituindo a Eq. (15) na Eq. (14), obtemos

Mas o trabalho virtual é igual à variação virtual da energia potencial multiplicada por isto é,

e a Eq. (16) fornece

Ora, a Eq. (17) permite definirmos a energia potencial da corda como

pois, por definição de variação virtual,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

onde usei a Eq. (15). As variações virtuais são infinitesimais e, portanto, podemos escrever

que coincide com a Eq. (17).

Substituindo a Eq. (1) na Eq. (18), obtemos

isto é,

ou seja,

ou ainda,

que também coincide com a Eq. (5).

😎

Bibliografia

[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: November (Troika Drive) de Pyotr Ilich Tchaikovsky, por Alfonso Bertazzi

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