Uma integral cabeluda

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No contexto de minhas pesquisas em sistemas quânticos abertos, há uma integral bem difícil, em princípio, para ser resolvida. Essa integral aparece em vários artigos que consideram ruídos em sistemas de qubits e também em problemas quânticos dissipativos, como no caso da emissão espontânea de fótons em uma cavidade de temperatura finita. Minha intenção aqui não é a descrição do aparecimento dessa integral, mas apenas mostrar sua solução exata. A integral é a seguinte:

onde e são parâmetros reais positivos. É um fato que essa expressão para também pode ser escrita assim:

Mas,

isto é,

Usando essa igualdade, podemos escrever como

isto é,

Como agora não há denominador singular no integrando, podemos também escrever

isto é,

ou seja,

Como

obtemos

O integrando fica

isto é,

Então,

isto é,

ou seja,

Para simplificar a notação, seja

e

Então, note que

isto é,

ou ainda,

Pela definição de Weierstrass da função temos

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Então,

Portanto,

Logo, lembrando que

e

vem

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Assim, a integral cabeluda é exatamente dada por

😎

Música desta postagem: Sonata K. 279 (Andante) de Wolfgang Amadeus Mozart, por Thorsten Hammer

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