Uma dinâmica quântica estocástica

Meu atual projeto de pesquisa, que envolve dois estudantes de pós-graduação, consta do estudo da finitude temporal de um processo de medida quântica. É coisa bem fundamental, mas que, ao mesmo tempo, é extremamente prática. No laboratório, todo dia os físicos estão medindo grandezas em sistemas quânticos e, tenho certeza, todos sabem que as medidas levam um certo tempo para serem realizadas. Já os livors-texto de mecânica quântica axiomatizam que a medida colapsa o estado quântico e esse processo é sugerido como instantâneo. Como pode ser instantâneo se, para medir qualquer coisa, um instrumento de medida deve interagir com o sistema em estudo? A interação deve ter uma duração finita, não é mesmo? Caso contrário, como poderíamos medir sem a interação do aparato medidor com o objeto a ser medido? Enfim, essas são minhas questões para pesquisar e estamos caminhando para examiná-las de perto. Aqui, nesta postagem, quero dividir alguns pensamentos básicos que norteiam essas ideias e que têm sido úteis ao progresso de minha pesquisa.

Para descrever uma medida quântica, na postagem A equação de Lindblad para uma medida quântica mostrei que é possível utilizar a equação:

que é uma equação de Lindblad se

onde é o operador identidade. O operador é o operador hermitiano correspondente à grandeza observável sendo medida. Aqui, vou considerar apenas estados puros e, portanto, vou escrever:

A teoria de difusão de estado quântico mostra uma maneira de desenovelar a equação de Lindblad em trajetórias estocásticas no espaço de Hilbert, cuja equação de movimento escreve-se:

onde descreve uma diferencial estocástica normalizada para que

e definimos

que é o valor esperado do operador Só que agora é dada pela média de sobre todas as trajetórias estocásticas. Aqui, quero mostrar que isso é verdade. Para tal proeza, o que vou fazer é tomar a diferencial de

e mostrar que isso dá a equação de Lindbad acima. Aqui também redefinimos, por consistência,

Calculemos, então, a diferencial:

Note que aqui o cálculo é o de Itô e, portanto, não podemos desprezar termos quadráticos em diferenciais. Assim,

isto é,

ou seja,

Como

é fácil ver que

e

As médias sobre todas as trajetórias dessas duas equações são:

e

pois

uma vez que, para um processo de Wiener como esse,

Note também que, por hipótese, é uma variável estocástica independente de

Queremos manter apenas termos proporcionais a e desprezar tudo que tenha, por exemplo, termos da ordem de Assim,

isto é,

Fazendo a média sobre todas as trajetórias resulta em

Resumindo nossos resultados até agora, podemos escrever:

e

pois, pela definição acima,

Com isso, tomando a média sobre todas as trajetórias da equação

segue que

isto é,

Expandindo e cancelando vários termos fornece a equação:

isto é,

Por hipótese,

e

o que resulta em nossa equação para descrever a medida de

Você viu que interessante? Ao invés de usar essa equação para a matriz densidade, podemos usar a equação estocástica para o estado puro:

É claro que essa equação para uma só trajetória não é capaz de descrever a mesma coisa que a matriz densidade, mas uma amostragem suficientemente grande dessas trajetórias estocásticas pode até ser mais eficientemente calculada do que a matriz densidade para problemas mais complexos. 😎

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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