Uma antena de meia onda

Na postagem A radiação de um dipolo oscilante apresentamos uma antena dipolar na aproximação em que seu comprimento é muito menor do que o comprimento de onda irradiada. Aqui utilizamos os resultados daquela postagem para calcular a radiação emitida por uma antena dipolar cujo comprimento é meio comprimento de onda, ou seja, uma antena de meia onda. O truque nesse cálculo é superpor os campos de cada elemento da antena, utilizando os resultados anteriores, já que cada elemento é muito menor do que o comprimento de onda da radiação emitida.


O PDF desta apresentação

Assim, consideremos um fio ao longo do eixo , estendendo-se de a . Também suponhamos que a corrente ao longo do fio, como função do tempo e do espaço, seja

de forma a ser nula nas extremidades do fio. Em outra postagem mostrarei como é possível justificar essa expressão para a corrente ao longo do fio, usando a teoria para linhas de transmissão.

Para um elemento do fio de comprimento , o campo só tem componente e é dado por

onde fizemos as substituições , e na equação para o campo da postagem A radiação de um dipolo oscilante e desprezamos o termo proporcional ao inverso de . Para a radiação que atravessa a superfície de uma esfera de raio

apenas a componente do campo elétrico na direção do versor contribui. Assim, analogamente à expressão obtida acima,

Diferentemente do que é feito no livro-texto, aqui estamos considerando como sendo a distância desde o elemento , localizado em , até a superfície da esfera de raio , centrada na origem. Sendo assim,

Notemos que no livro-texto da Bibliografia abaixo nossos símbolos e são escritos, respectivamente, e . Para calcularmos o vetor de Poynting, vamos integrar as expressões acima e, em ambas, aparece a integral

Como

temos

pois a integral sobre o seno se anula no intervalo simétrico, já que o seno é uma função ímpar. Simplifiquemos o integrando:

Então,

Logo,

Portanto,

e

Com isso, a média temporal do vetor de Poynting é dada por

A potência média total dissipada é dada por:

que deve ser integrada numericamente. Usando, por exemplo, o programa Maple, o resultado dá

Usando

e

obtemos

Para relacionar com ohms, notemos que

Com isso,

ou seja,

no vácuo.

😎

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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