Um reservatório térmico de osciladores harmônicos

Resolvi incluir o presente tópico neste blog porque é recorrente no contexto de sistemas quânticos abertos. A ideia principal é ilustrar como, tipicamente, utilizamos osciladores harmônicos para representar os graus de liberdade do ambiente que perturba o estado quântico do sistema a ser investigado. Aqui, só para tornar a discussão mais concreta, tomaremos um spin como o sistema quântico.

Consideremos que o ambiente seja um reservatório térmico de osciladores harmônicos. Nesse caso, escrevemos

onde é a frequência do -ésimo modo normal de vibração do reservatório térmico e e são, respectivamente, os operadores de criação e destruição de quanta nesse modo. Também tomemos a hamiltoniana de interação como

onde é a constante de acoplamento entre o oscilador do -ésimo modo e a componente do spin,

e

Com isso,

Para prosseguirmos com a simplificação dessa expressão, seja

Então,

isto é,

ou seja,

Dessa equação segue também que

Portanto, uma forma mais simples para é esta:

Tomemos o estado inicial do reservatório térmico como usualmente, isto é,

com a função de partição do ensemble canônico, ou seja,

onde

é a constante de Boltzmann e é a temperatura absoluta do reservatório térmico. Para ilustrar a utilidade dessa formulação, vamos calcular a correlação entre dois operadores calculados em tempos diferentes:

Como o operador não pode criar nem destruir quanta, segue que

e

Para conservar o número de quanta em cada modo normal devemos ter

e

Como

segue que

e, portanto, precisamos calcular apenas :

Logo,

e

Assim,

Como é hermitiano, podemos escrever

Esses resultados são importantes para nossas futuras discussões acerca de sistemas quânticos abertos e, portanto, é conveniente já termos abordado os detalhes puramente algébricos dos cálculos dessas funções de correlação.

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