Um guia de ondas de seção transversal retangular constante

Em uma postagem anterior, A propagação de ondas entre duas placas condutoras paralelas, discutimos o que acontece com ondas eletromagnéticas propagando-se em uma região do espaço confinada entre duas placas condutoras paralelas. Agora podemos nos perguntar se é possível termos propagação em uma região do espaço com restrições em duas direções. Seria possível “encanar” ondas eletromagnéticas? Nesta postagem vamos ver que sim: é possível termos ondas propagando-se ao longo de um tubo condutor com seção transversal constante. Um tal tubo é chamado de guia de ondas e, aqui, para simplificar, vamos considerar, como exemplo ilustrativo, apenas o caso de seção transversal retangular.


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Antes de considerarmos uma aplicação específica, suponhamos um tubo reto oco e infinito, feito de material condutor ideal, com seção transversal constante. Tomemos o eixo ao longo do comprimento do tubo e suponhamos que a espessura da parede condutora seja constante. As ondas eletromagnéticas que se propagariam no interior de um tal guia de ondas de seção transversal constante devem satisfazer as equações

e

onde, aqui, é a magnitude de propagação da luz no vácuo, isto é,

No entanto, todos os resultados obtidos aqui também valem quando, dentro do guia de ondas, há um dielétrico linear, homogêneo e isotrópico, caracterizado pelas constantes e Nesse caso, basta trocar nas equações acima, pela velocidade de propagação no meio dielétrico, isto é,

Para ondas monocromáticas, tomemos como dependência temporal de nosso ansatz a função . Com isso, as equações acima escrevem-se

e

Procuremos por modos transversais elétricos, , ou seja, imponhamos . Da lei da indução de Faraday temos

Em termos de componentes cartesianas, essa equação resulta em

Para modos :

e

Procuremos por ondas que se propaguem ao longo do sentido positivo do eixo . Assim, tomamos a dependência funcional em dos campos e como e obtemos

e

Da lei de Ampère & Maxwell obtemos

ou seja,

Com o ansatz referente à dependência em , essas equações dão

e

ou ainda,

e

Dessa forma, se encontrarmos , facilmente obteremos , , e . Para obtermos , utilizamos a equação de onda:

Com o ansatz para a dependência em , obtemos a equação para :

Essa equação e as condições de contorno para resolvem o problema para modos .

Também é possível termos modos transversais magnéticos, , onde basta determinarmos para termos a solução completa do problema, de maneira análoga ao que fizemos acima. Há uma postagem mais antiga em que o conteúdo apresentado aqui é repetido no sistema CGS, mas apresentando também o tratamento dos modos e explicitando as condições de contorno em cada tipo de modo. A postagem é: Guias de ondas de seção transversal constante.

Exemplo: modos em um guia de ondas de seção transversal retangular constante

Consideremos um guia de ondas retangular, cuja seção transversal tem a forma de um retângulo, cujos vértices, no plano , são dados pelos pontos , , e . A solução da equação de onda para é facilmente verificada como sendo

onde , e devem satisfazer

Além dessa condição, e , assim como , , e , também devem ser determinadas pelas condições de contorno. Em e , a componente do campo elétrico tangencial à parede condutora deve ser nula. Como por hipótese (modos ), segue que , ou seja, como

segue que

Mas,

Impondo a condição de contorno acima para resulta em

Em , a condição e o resultado acima implicam em:

ou seja,

Analogamente, em e , a componente do campo elétrico tangencial à parede condutora deve ser nula. Como por hipótese (modos ), segue que , ou seja, como

segue que

Mas,

Impondo a condição de contorno acima para resulta em

Em , a condição e o resultado acima implicam em

ou seja,

Portanto, definindo a amplitude arbitrária , obtemos

Notemos que se escolhermos , ficaremos com

Mesmo que tomemos como requerido pela Eq. (1) acima, teremos, necessariamente,

e

A componente da lei da indução de Faraday então implica em

e, portanto, a solução para é e . Logo, a solução acima, isto é,

só não é trivial quando e . Esses modos são indicados assim: .

😎

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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