Um fluido incompressível no campo gravitacional e outras observações interessantes

Vamos supor um fluido sob a ação da gravidade terrestre, com aceleração da gravidade Para o caso de um fluido próximo à superfície da Terra, podemos desprezar a variação da aceleração da gravidade e escrevemos

onde é a densidade de massa do fluido no ponto onde estamos considerando a pressão Essa mesma equação pode ser reescrita usando a definição do operador nabla:

ou seja,

e

Como as derivadas parciais de com relação a e a são nulas, segue que a pressão é independente tanto de como de No entanto, a derivada parcial com relação a de não é nula e, portanto, é uma função que depende de Integrando, vemos que

onde é uma constante arbitrária. Em dois pontos distintos, com coordenadas distintas, e seguem as equações:

e

Subtraindo a primeira dessas equações da segunda fornece

É muito comum vermos essa mesma equação aplicada a um líquido em uma situação especial: quando é a coordenada vertical da superfície do líquido em contato com o ar e é a coordendada abaixo de no interior do líquido. Seja a altura entre e dada por isto é,

e seja

a pressão atmosférica na superfície do líquido. Então, a fórmula acima pode ser escrita agora como

onde é a pressão no interior do líquido a uma profundidade da superfície.

O caso tratado acima, isto é, de um fluido sob a ação do campo gravitacional próximo à superfície da Terra, é um exemplo particular do caso geral de um fluido sob a influência de um campo de força conservativa. Já vimos que para uma força conservativa sempre existe uma energia potencial cujo gradiente multiplicado por dá essa força. Ao lidar com fluidos, estamos usualmente considerando a força por unidade de volume, Assim, como a força é conservativa, podemos definir uma energia potencial por unidade de volume, tal que

Mas já vimos também que

e, portanto,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

e

Como a soma tem derivada parcial com relação a nula, segue que essa soma não pode depender de Como as derivadas com relação a e a de também são nulas, segue que essa soma também não depende de e nem de Assim, só pode ser uma constante e obtemos

Quando a energia potencial por unidade de volume, é a correspondente à força gravitacional perto da superfície da Terra, é fácil ver que é dada por

onde é uma constante arbitrária. Nesse caso, conforme esperado, obtemos novamente o caso que estudamos acima:

onde a constante é dada por

neste exemplo.

Exemplo: um líquido em rotação uniforme

Como um exemplo disso tudo que temos dito, considere um balde com água que roda com velocidade angular constante em torno de seu eixo de simetria (vertical). Por que a água tem viscosidade, depois de um bom tempo, não só o balde estará girando, mas a água também. Em um referencial não inercial que gira juntamente com o balde, a água no seu interior está em equilíbrio. Nesse referencial, a superfície da água não fica horizontal, mas assume um formato curvo, mais fundo no centro do balde. Isso acontece porque, no referencial girante, a água é comprimida contra a parede do balde pela força centrífuga. Essa força, por unidade de volume da água, é dada por

onde

Veja que a força centrífuga é exatamente igual á força centrípeta multiplicada por Lembre-se sempre que a força centrípeta só aparece em um referencial inercial, enquanto a sua contraparte, a força centrífuga, aparece em um referencial não inercial, isto é, em um referencial acelerado.

Observe que

isto é,

pois

e

e

Logo,

e, portanto, podemos tomar a energia potencial por unidade de volume nesse referencial não inercial como

onde é uma constante arbitrária. Então, a pressão na água escreve-se

onde é uma constante a ser determinada. Tomemos a origem do sistema de coordenadas exatamente sobre o eixo de simetria do balde e exatamente na superfície da água, onde a pressão é a pressão atmosférica, Assim,

já que, na origem, Com isso,

A equação da superfície da água ocorre para todos os pontos em que a pressão é igual à pressão atmosférica, isto é,

Nesse caso, a equação da superfície da água fica

isto é,

ou seja,

que é a equação de um paraboloide de revolução.

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2 Comments for Um fluido incompressível no campo gravitacional e outras observações interessantes

  1. lindomar said,

    novembro 18, 2010 @ 10:38

    gostaria de saber como eu faço para escrever formulas e calculos no meu blog

  2. reginaldo said,

    novembro 18, 2010 @ 17:22

    Olá Lindomar,
    Grato deveras pelo seu comentário. Escrever fórmulas em wordpress é fácil. Você precisa de um plugin para . Eu uso o plugin WP LaTeX e estou muito satisfeito com ele. Para escrever as fórmulas, leia minha postagem Expressões matemáticas nos comentários. Espero ter ajudado. 😎

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