Ultrapassando os limites

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Muito cedo, em minha graduação, percebi que deveria estudar cálculo muito seriamente. O curso que os matemáticos dão começa com noções de teoria de conjuntos, funções, números reais e alguma geometria analítica. Pelo menos é isso que minha memória ainda armazena. Logo no começo, o conceito de limite de uma função real é apresentado. Depois, a derivada de uma função real é definida em termos da noção de limite. Tudo isso é feito com uma notação peculiar, que não é sempre utilizada no curso paralelo de física. Tipicamente, enquanto a primeira disciplina de cálculo da graduação está cobrindo os limites, a primeira disciplina paralela de física já ultrapassa os limites: está em derivadas! 😆

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Creative Commons License photo credit: Daquella manera

Quando comecei o primeiro curso de cálculo, o livro-texto utilizado era O Cálculo com Geometria Analítica, de Louis Leithold. Meu professor de cálculo foi Sergio Fenley, pouco antes de sair do Brasil para seu doutoramento em Princeton, eu suponho. Ele insistia nas demonstrações de propriedades de limites. Eu não entendia o aquelas demonstrações significavam, nem porque devíamos demonstrar daquele jeito. Demorou para cair a ficha. 😆

Como eu imagino que não deve ser incomum a dificuldade, vou dizer aqui o que entendi depois do curso de cálculo — depois! 😆 Se você estiver cursando cálculo, no começo, você vai saber o que, talvez, não fique claro no curso logo de cara — e você vai saber antes! Tomara! 😉 É isto o que vou contar hoje: como entender uma demonstração de propriedade de limite que nunca fica clara imediatamente no curso de cálculo. 🙂

Os livros-texto de cálculo vão dizer sempre a mesma coisa quanto à definição do que é limite de uma função: dizemos que o limite da função quando tende a é se e somente se, para todo existir um tal que

É complicado, não é? 😐 E eu nem sequer disse tudo. Normalmente os matemáticos definem o domínio da função, sua imagem, que e são números reais, etc. O que quero fazer aqui é tentar decifrar o que essa definição quer dizer, de uma maneira que qualquer ser humano possa entender, sem bazingas. 😀

Você sabe o que a expressão “sempre que” significa? Acredite: “sempre que” quer dizer “se”! 😯 Aposto como jamais lhe disseram isso assim! 😉 Vamos checar essa equivalência? Considere a afirmação: “Usarei guarda-chuva se chover”. Veja que o significado dessa frase é exatamente o mesmo de “Usarei guarda-chuva sempre que chover”! Outra maneira de dizer essa mesma frase é: “Se chover, usarei guarda-chuva”, ou ainda, “Se chover, então usarei guarda-chuva”. Todas essas frases são equivalentes logicamente, porque todas têm o mesmo significado: a ocorrência de chuva implicará em meu uso de guarda-chuva.

Os matemáticos têm um símbolo para implicação lógica: No exemplo acima, “Se chover, então usarei guarda-chuva”, os matemáticos esquematizariam assim:

Isso também quer dizer que se chover, necessariamente utilizarei guarda-chuva. Outra maneira de escrever isso, para matemáticos, é assim:

já que, por analogia, tanto faz escrevermos ou basta inverter o sentido do símbolo “” e, ao mesmo tempo, trocar a ordem de e Assim, analogamente, se existe então podemos tranquilamente aceitar o uso de Para quaisquer afirmações e são equivalentes as formas

e

Outra forma que os matemáticos inventaram para verbalizar o significado de é dizer que é uma condição suficiente para isto é, supondo que seja verdadeira a implicação então, para que a afirmação seja verdadeira, basta que seja verdadeira; ou ainda, para que haja ocorrência de basta que ocorra. Também dizemos que é uma condição necessária para Por quê? Ora, quando a afirmação não pode ser verdadeira se for falsa, pois a ocorrência de sempre implica a ocorrência de se for verdade que No exemplo acima, se for verdade que “Se chover, então usarei guarda-chuva”, então diremos que eu usar guarda-chuva é uma condição necessária para que esteja chovendo. Fica evidente, nesse caso, que não há como estar chovendo se eu não estiver usando guarda-chuva, se for verdade que “Se chover, usarei guarda-chuva”. Quantas maneiras de dizer a mesma coisa! 🙂

Veja que “se” não é a mesma coisa que “somente se”! 😕 Quando digo: “Usarei guarda-chuva sempre que chover”, não significa que eu não use o guarda-chuva caso não chova. Com essa frase, o que quero dizer é que se chover, certamente, indubitavelmente, usarei o guarda-chuva, mas, mesmo que não chova, posso ou não utilizar o guarda-chuva. Não há nenhuma dica nessa sentença de que quando não chove eu também não uso guarda-chuva. No entanto, quando digo “Usarei guarda-chuva somente se chover” significa que não usarei o garda-chuva caso não chova. Isso quer dizer que, caso eu utilize o guarda-chuva, então é porque estará chovendo e a implicação é simbolizada assim:

Se essa expressão lógica for verdadeira, bastará você ficar sabendo que estou usando o guarda-chuva para concluir que está chovendo! Podemos sumarizar essas elocubrações assim:

Dessa nomenclatura para os símbolos e segue o significado de

que os matemáticos gostam tanto. 😎

Depois dessa digressão sobre implicação lógica, vamos rever um pedaço da definição de limite. A expressão acima,

também pode ser escrita como

ou ainda,

Utilizando, portanto, o símbolo essa mesma expressão pode ser escrita como

ou, também,

Era isso o que eu não sabia! 🙂 A definição de limite agora fica mais clara: para todo devemos encontrar um tal que, com essa escolha de a ocorrência de implique em Levou um tempo longo para que eu descobrisse isso, simplesmente porque isso não havia ficado claro para mim durante todo o semestre de curso de cálculo! 🙁 Depois do curso, embora eu tivesse passado muito bem, ainda assim continuei estudando cálculo. Bastou que eu estudasse um pouco de lógica matemática para que eu descobrisse onde estava minha dificuldade. Estou, portanto, passando essa descoberta a você, para que entenda como é que deve ser interpretada essa definição de limite. 😎

Como exemplo, considere sabido que

Vamos mostrar que, então,

onde é um número real qualquer, diferente de zero. Muito evidente, não é? 🙂 Mas temos que supor que duvidamos e, portanto, vamos utilizar a definição de limite para provar isso. Vamos lá! Sabemos que

Então, para todo temos certeza de que existe um tal que

Note que, como ficará claro logo, estou utilizando os símbolos e ao invés de e aqui, sem problema algum: é só notação. Supondo verdadeiro isso que acabei de escrever, devemos, para todo encontrar um tal que

Veja que aqui estou utilizando os símbolos e pois estes não necessariamente devem ser iguais àqueles, e

Quando para todo existe um tal que

então é uma função de isto é,

Como é absolutamente qualquer número real positivo, podemos escolhê-lo como for conveniente para nosso objetivo. Seja, então, um qualquer. Podemos tomar

e, ainda assim, temos certeza de que é verdade que existe tal que

com

Pronto, basta escolhermos

que teremos obtido o seguinte: para todo encontraremos sempre um tal que

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Essa conclusão é exatamente a de que, pela própria definição de limite,

Viu, que legal?! 😎

Espero que esta postagem tenha ajudado você a ter compreendido melhor a ideia por trás dos limites e, talvez, alertado você quanto ao significado da linguagem que os livros-texto de cálculo utilizam. Não esqueça também que demonstrações matemáticas são um tanto trabalhosas por falta de hábito de nossa parte, mas, com um pouco de treino, podemos realmente ultrapassar nossos limites. 😎

Música desta postagem: Polonaise in A-flat major Op.53 (“Heroic”) de Frédéric Chopin, por Stephen Kopp

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6 Comments for Ultrapassando os limites

  1. Rafael said,

    fevereiro 13, 2011 @ 13:58

    Sempre tive grandes problemas ao trabalhar com a definição formal de limite. Como você disse, existem certas coisas que só vamos conseguir entender mesmo após um algum tempo.

    OBS: Parabéns pela explicação sobre lógica. Os exemplos usados são de grande ajuda!

  2. reginaldo said,

    fevereiro 18, 2011 @ 10:55

    Olá Rafael,
    Grato deveras pelo seu comentário. Depois que fazemos as disciplinas, elas continuam fazendo efeito em nossas mentes e um bocado de fichas começam a cair.
    Que bom que você gostou da explicação sobre lógica e dos exemplos! Sempre bom ter feedback; ótimo poder ajudar!
    Grato deveras pelo incentivo!

  3. Felipe said,

    fevereiro 22, 2011 @ 14:30

    Nossa, isso aconteceu comigo também … e acho que acontece com 90% dos estudantes .. eu me formei em fis-comp e to fazendo mestrado na matemática, e olha, só agora vi que passou um monte de coisa despercebido no curso de física por causa da notação matemática, e o modo como a comunidade dos matemáticos expõe as coisas … acho que deveriam dar uma apostila de “como falar matemática em 3 dias” para alunos antes das disciplinas básicas 😀

  4. reginaldo said,

    fevereiro 22, 2011 @ 14:56

    Olá Felipe,
    Grato deveras pelo seu comentário. Concordo plenamente com você!

  5. Matheus said,

    abril 9, 2012 @ 22:54

    Nunca tinha entendido isso muito bem ! Agora clareou tudo !

    Muito obrigado professor!

  6. reginaldo said,

    abril 10, 2012 @ 9:30

    Olá Matheus,
    Grato deveras pelo seu comentário! Fico muito feliz por poder ter ajudado você a esclarecer suas ideias sobre limites! É com essa intenção que o Nerdyard foi criado! Valeu mesmo!

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