Transformações de gauge ou calibre

 

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O fato de que não há monopolos magnéticos, isto é,

implica na existência de um potencial vetorial:

tal que

 

 

walking_siberian_tiger_514204
Tyger! Tyger! burning bright,
In the forests of the night,
What immortal hand or eye
Could frame thy fearful symmetry?

Substituindo esse resultado na Lei de Faraday, ou seja,

temos

Então,

tal que

Com isso, a Lei de Gauss,

fica

ou seja,

onde, para simplificar, estamos considerando os campos no vácuo. A Lei de Ampère-Maxwell, isto é,

ou seja,

ou ainda,

Notemos que se

teremos

e

Mas é possível termos

A resposta a essa questão é afirmativa e a razão para isso é a que segue. Suponhamos novos potenciais

e

onde

é uma função arbitrária do espaço e do tempo. Com isso, calculemos os novos campos:

Assim, fica claro que os campos são os mesmos para uma infinidade de potenciais diferentes, desde que satisfaçam as transformações

e

Essa invariância é chamada de invariância de calibre ou “gauge”. Logo, dados potenciais que não satisfaçam

ainda assim sempre será possível encontrarmos uma função escalar que permita a utilização de novos potenciais, dando os mesmos campos e satisfazendo a equação

também conhecida como o calibre de Lorentz.

Logo, mostramos que, no calibre de Lorentz, dadas as fontes e , tudo o que temos a fazer para encontrar os potenciais escalar e vetorial é resolver a equação diferencial

para cada um dos pares ordenados do conjunto

Música desta postagem: “Sheep May Safely Graze” de Bach, por Sandro Bisotti

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4 Comments for Transformações de gauge ou calibre

  1. » Função de Green para a equação de onda | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    fevereiro 22, 2010 @ 17:58

    […] uma postagem anterior mostramos que, no calibre de Lorentz, dadas as fontes e , tudo o que temos a fazer para encontrar […]

  2. » Equações do eletromagnetismo | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 2, 2010 @ 10:34

    […] explicado quando discutimos transformações de calibre, o gauge ou calibre de Lorentz é dado […]

  3. José Victor said,

    abril 8, 2011 @ 20:03

    Em minha opinião o conceito de calibre de gauge, como geralmente é apresentado, é um dos conceitos mais dificeis de se compreender. A matemática usada, apesar de essencial nas aplicações desse conceito, não ajuda muito em seu entendimento, embora as contas possam continuar a ser feitas.
    Trocando em miudos, acho que poderia ser dito assim, sobre o que é mesmo o calibre de gauge ou de potenciais: a escolha de sistemas de potenciais (A e \phi) tal que os campos elétrico e magnético permaneçam os mesmos. Levando em conta, naturalmente, o fato básico: as eqs. do E.M são invariantes(covariantes) sob transformações de Lorentz. Isto é o que autoriza escolher, à vontade, os A e os \phi que não só mantêm os campos elétrico e magnético invariáveis como permite obter as mais simples relações entre eles. Ou seja, ou céu é o limite, nesse mister.
    Correções?

  4. reginaldo said,

    abril 15, 2011 @ 18:10

    Olá José Victor,
    Grato deveras por dividir sua opinião nesse seu comentário. Valeu. Posso acrescentar que as transformações de calibre são fundamentais, pois mostram uma simetria importante que, tendo nascido no eletromagnetismo clássico, acabou por inspirar outras teorias de calibre muito importantes, como a teoria eletrofraca e a cromodinâmica quântica. Embora em minhas postagens eu tenha sempre utilizado o calibre de Lorentz, não é so esse que podemos utilizar, pois, dependendo da conveniência, podemos inventar outro calibre apenas trocando a função escalar envolvida nas equações de transformação. Um calibre muito utilizado, mas que não é covariante por transformações de Lorentz, é o calibre de Coulomb, em que tomamos como nula a divergência do potencial vetorial.

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