Teoria Vetorial da Difração

Audio clip: Adobe Flash Player (version 9 or above) is required to play this audio clip. Download the latest version here. You also need to have JavaScript enabled in your browser.

DDepois de termos visto a teoria escalar da difração, de forma didática, vamos formular uma teoria vetorial de difração para ondas eletromagnéticas. Teremos que tomar cuidado com as inconsistências que podem aparecer, no caso vetorial, envolvendo as condições de contorno que os campos devem satisfazer. Aqui vamos seguir o livro de J. D. Jackson e, para evitar situações complicadas, vamos considerar que uma superfície plana idealmente condutora, , coincida com o plano . As fontes dos campos serão supostas apenas em A região será tomada como a região de difração. A figura abaixo ilustra a situação. Note que a superfície é apenas a superfície que define a fronteira da região de difração, isto é, constitui apenas uma das superfícies condutoras da suposta parede condutora separando a região onde as fontes dos campos se encontram, da região de difração Como mostra a figura, essa parede de separação tem uma espessura e os campos totais no interior do material condutor ideal que compõe a parede são nulos. Então, para sermos precisos, vamos supor que as fontes estejam na região sendo que haverá também cargas e correntes induzidas na superfície em que não serão consideradas como fontes dos campos existentes na região A teoria a ser desenvolvida a seguir prevê os campos na região incluindo a superfície Enfatizamos, portanto, que a superfície é uma entidade matemática e não uma parede condutora infinitamente fina, embora os argumentos abaixo sobre a simetria dos potenciais vetorial e escalar valham apenas quando tomarmos infinitesimal.

difracao-vetorial-0

Sejam e os campos que seriam produzidos pelas fontes na ausência da parede condutora e, portanto, na ausência da superfície (em ) e da superfície em Em outras palavras, os campos e são os devidos a apenas as fontes em Assim, os campos totais podem ser escritos:

e

onde e são os campos espalhados pelas cargas e correntes induzidas na parede condutora, de espessura infinitesimal

Sejam a corrente e a densidade superficiais complexas induzidas na superfície dadas por e , respectivamente. Analogamente, sejam a corrente e a densidade superficiais complexas induzidas na superfície dadas por e , respectivamente. O potencial vetorial total, produzido pelas correntes superficiais e terá componente nula, já que as correntes superficiais só não se anulam em direções paralelas ao plano Escrevamos, portanto,

onde é o potencial vetorial complexo resultante das correntes induzidas e e são os potenciais vetoriais complexos induzidos, cada um, por cada uma das respectivas correntes e Então, é fácil vermos que, no caso da superfície por simetria, as componentes do vetor potencial serão funções pares da coordenada Para vermos isso basta escrever a expressão do potencial vetorial complexo no calibre de Lorentz:

onde

Veja que a troca de por não altera o valor de
De forma análoga, as componentes do vetor potencial serão funções simétricas com relação ao plano como pode ser visto a partir da expressão:

onde, neste caso,

Note que a troca de por não altera o valor de Então, um ponto de coordenada dista do plano
O ponto simétrico ao plano deve estar à mesma distância deste plano que o ponto mas do outro lado. Logo, a coordenada desse ponto simétrico deve ser dada, em termos d
a coordenada do ponto por Como vemos na expressão acima, o potencial é simétrico com relação a essa troca. No entanto, como é infinitesimal, o plano tende para o plano e, portanto, nesse limite, o potencial torna-se simétrico com relação ao plano Então, a soma de duas funções pares com relação à coordenada é também par com relação a essa coordenada. Logo, o potencial vetorial complexo total,

é par com relação à coordenada

O mesmo se aplica ao potencial escalar: será uma função par da coordenada Essa simetria pode ser vista a partir das expressões para os potenciais complexos no calibre de Lorentz:

onde

com

e

neste caso com

Fica evidente das expressões para os potenciais acima que

 

e

Como

segue que

e

já que

e

No entanto,

pois

Como

temos

 

e

Portanto,

 

e

Em resumo, com relação à coordenada , e são funções pares e e são ímpares.

Difração baseada no campo indução magnética

Para evitar inconsistências na teoria, podemos utilizar condições de contorno de Dirichlet ou de Neumann sobre Vamos utilizar a condição de Neumann, assim poderemos expressar o potencial vetorial em termos das componentes do campo indução magnética sobre Logo, como quando analisamos a teoria escalar da difração, é fácil obter a função de Green de Neumann:

onde

Com isso,

onde a normal à superfície é escolhida ao longo do sentido positivo do eixo A integral é, portanto, para ser calculada em Não há problema com calcular a integral em mesmo para , pois as componentes do potencial vetorial são pares com relação à coordenada Notemos que

e, sobre temos implicando em

isto é,

Com isso,

Sabemos que

e, portanto, de , vem

Logo,

Agora podemos usar essa expressão para obter o campo indução magnética:

Como as componentes e são ímpares, segue que o integrando se anula nas aberturas, pois nelas não há descontinuidade na componente tangencial do campo indução magnética. Logo, a integral só não é nula sobre a parte metálica da superfície e escrevemos

O campo elétrico associado a esse campo indução magnética pode ser obtido da Lei de Ampère-Maxwell,

isto é,

Essa abordagem é conveniente quando, ao invés de a parede condutora ter aberturas, tivermos, na região geométrica da parede, uma ou mais placas metálicas delgadas tangenciando o plano como, por exemplo, um disco de raio A maior dificuldade está em determinarmos, sobre o metal, o valor das componentes tangentes do campo indução magnética para obtermos o valor de que aparece no integrando. Como uma aproximação, podemos usar .

Difração baseada no campo elétrico

Seria interessante termos uma teoria vetorial da difração mais conveniente para o caso de aberturas, como originalmente encaminhamos a discussão, e não como no caso acima, em que a integral envolvida, ao invés de ser feita sobre as aberturas, é feita sobre o metal. Se, no integrando envolvido em uma tal abordagem alternativa tivermos onde é o campo elétrico total, então, porque, como vimos, as componentes tangenciais do campo elétrico se anulam no condutor, a integral deverá ser feita apenas nas aberturas. Para construirmos uma teoria da difração com essa peculiaridade, ao invés de basearmos a abordagem no cálculo do campo indução magnética, como fizemos acima, podemos começar procurando por uma outra solução para o campo elétrico, satisfazendo as equações de Maxwell, mas que tenha algo como no integrando. Uma maneira imediata de encontrarmos um campo elétrico espalhado, dado em termos de uma integral com um integrando envolvendo , decorre da propriedade de o conjunto formado pelas equações de Maxwell no presente contexto ser invariante pela transformação

e

Com isso, a solução obtida anteriormente, para o campo indução magnética, isto é,

se transforma em

Ainda não conseguimos, como desejado, no integrando e, portanto, ainda não podemos fazer a integral apenas sobre as aberturas da superfície condutora mas resolveremos isso mais adiante. É importante notarmos, desde já, que esse resultado para o campo elétrico não decorre simplesmente de tomarmos o rotacional do campo indução magnética da abordagem anterior e multiplicá-lo por que é distinta da presente discussão. Esse campo elétrico, inclusive, fornece um campo indução magnética distinto, obtido da Lei da Indução de Faraday,

isto é,

Também é importante notarmos que, ao contrário do campo indução magnética da abordagem anterior, o campo elétrico proposto acima deve ter componentes tangenciais pares e componente normal ímpar, com relação à coordenada Caso formos calcular o resultado para , como a integral é feita para , segue que a componente do campo elétrico deve mudar de sinal e propomos, então,

Por construção, portanto, satisfaz as equações de Maxwell e também possui a simetria requerida com relação à superfície

Para o cálculo do campo elétrico acima, a integral deve ser feita sobre todo o plano No entanto, como

podemos também escrever

e

onde é o campo elétrico total e definimos

Como a componente tangencial do campo elétrico total deve ser contínua e o campo elétrico deve anular-se no interior de um condutor ideal, segue que as integrais envolvendo são nulas em todo o plano exceto nas aberturas. O que significa o campo Analogamente ao que fizemos no caso do campo para é evidente que se, ao invés de no integrando da expressão colocássemos , obteríamos, ao invés de o campo não perturbado, isto é,

Logo,

Assim, para o campo elétrico total pode ser escrito

que é definido como o campo elétrico difratado.

😎

Música desta postagem: Années de Pèlerinage (Eglogue) de Franz Liszt, por Chris Breemer

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

Uma versão em PDF

Gostou desta postagem? Então clique no botão abaixo e siga o Nerdyard no Twitter! Toda vez que houver uma nova postagem aqui, você saberá imediatamente! :cool:

Siga Nerdyard no Twitter

Melhor ainda: inscreva-se em Nerdyard e receba, por e-mail, o aviso com links para cada nova postagem ou novidade.

Google Groups
Inscreva-se em Nerdyard
Melhor email:
Visite este grupo

NOTE QUE EU ODEIO SPAM COM TODA CONVICÇÃO! :cool:

Dessa forma, não se preocupe: eu juro que jamais fornecerei seu endereço de e-mail ou qualquer outra informação sobre você para ninguém!

Clip to Evernote

Deixe um comentário for Teoria Vetorial da Difração

Editor de Equações (www.codecogs.com/latex/eqneditor.php)

Para entender como utilizar esse editor de equações, clique aqui.