Teoria Escalar da Difração

Audio clip: Adobe Flash Player (version 9 or above) is required to play this audio clip. Download the latest version here. You also need to have JavaScript enabled in your browser.

Em óptica geométrica, o comprimento de onda da luz é desprezível e os raios de luz não contornam obstáculos, mas propagam-se sempre em linha reta. A difração acontece quando o comprimento de onda da luz, perante obstáculos, não pode mais ser considerado completamente desprezível. Aqui vamos considerar a teoria de difração para um campo escalar, pois a teoria vetorial é mais complicada e será tratada posteriormente.

autumn leaves between sun halos and flashlight
Creative Commons License photo credit: oedipusphinx — — — — theJWDban

Seja um campo conhecido em uma região do espaço, como mostra a figura abaixo. Portanto, seja o espaço separado em duas regiões: e , com sendo a superfície de separação entre as duas regiões. Suponhamos, também, que a outra parte da fronteira da região , que denotaremos por , esteja muito distante da superfície (que também é parte da fronteira de ), isto é, seja uma superfície infinitamente distante da região , que não, necessariamente, deva ser considerada limitada.
difracao-escalar-0
Vamos considerar também que a dependência temporal de seja harmônica, com frequência , isto é, . Além disso, suponhamos que satisfaça a equação de onda na região , ou seja,

que, com o ansatz temporal que adotamos, resulta na equação de Helmholtz:

onde, como usualmente, definimos

No espaço vazio, a função de Green, , para a equação de Helmholtz, que satisfaz

é dada por

No entanto, não podemos utilizar essa função de Green para obter o propagador do campo , pois não estamos considerando o espaço vazio, mas uma região do espaço com uma fronteira em e outra em , embora seja infinitamente distante. Voltaremos a considerar a função de Green adequada para nosso problema depois que formularmos a teoria de difração; no momento apenas consideremos conhecida a função de Green adequada, .

Derivemos agora o Teorema de Green no contexto formulado acima. Seja o campo vetorial auxiliar:

Pelo Teorema da Divergência de Gauss,

onde é uma região arbitrária do espaço e é a fronteira de . Aqui, é a normal externa à região . Notemos que opera em e não em ; no presente contexto, é um vetor fixo que, por hipótese, tomaremos sempre dentro da região . Obtemos, portanto,

Então,

Seguindo um procedimento análogo, é fácil deduzir também que

A subtração membro a membro dessas duas equações resulta no Teorema de Green no presente contexto:

Como

por hipótese, e

pois é uma função de Green para a equação de Helmholtz, segue, do Teorema de Green, que

isto é,

se for um ponto da região que, por hipótese, é. Trocando a notação, podemos também escrever

para em .

Essa expressão é interessante porque com ela podemos mostrar que em todo lugar se, sobre alguma região da superfície fechada , tivermos, simultaneamente,

e

Para apreendermos isso, vejamos uma situação simples. Suponhamos que a superfície fechada seja a união de duas superfícies abertas, e , com as quantidades e ambas nulas sobre . Usando o Teorema de Green, no interior de temos

onde é a normal sobre , e é a normal sobre . Sobre , as quantidades e são nulas. Logo,

Seja a fronteira entre e . Conforme observado por Tiago Batalhão, sobre a superfície e sua vizinhança, exceto sobre o ponto , temos

isto é,

Como também temos que

segue que, exceto sobre ,

e, portanto, existe um campo vetorial tal que

Logo,

Usando o Teorema de Stokes, obtemos

onde é o elemento de caminho da curva fechada . Escolhamos outra superfície, , que também tem a fronteira com a superfície , tal que seja fechada. Mas, seja tal que o ponto agora fique fora da região cuja superfície é

Podemos usar novamente o Teorema de Green e escrever

onde é a normal sobre . Como o integrando é nulo sobre a superfície , por hipótese, segue que

Usando o Teorema de Stokes, obtemos

Como já obtivemos, usando a superfície ao invés de , que

segue, finalmente, que

para todo .

Dessa análise concluímos que, para um campo não ser nulo em todo espaço, não podemos impor condições de contorno em que, simultaneamente, a função de Green tenha seu valor e sua derivada normal nulos em nenhuma parte da superfície fechada da região de interesse. Podemos, no entanto, obter solução não trivial para o campo escalar se impusermos condições de contorno de Dirichlet ou de Neumann. A seguir, apenas o caso de condição de contorno de Dirichlet será apresentado; o caso de Neumann é análogo.

Condição de contorno de Dirichlet

No caso de termos a condição de contorno de Dirichlet, tomamos a função de Green de Dirichlet, , satisfazendo

Nesse caso, escrevemos

Como estamos supondo que seja uma superfície infinitamente distante, vamos também supor que o campo satisfaça uma condição de radiação, isto é, para muito grande,

e que, em virtude disso,

Logo, queremos encontrar uma solução que seja dada por

Depois de encontrarmos explicitamente a função de Green de Dirichlet, deveremos verificar se, de fato, teremos, de forma consistente,

Até agora ainda não explicitamos qual é a forma da superfície . Isso depende especificamente do problema que queiramos resolver. Há, porém, um caso importante, em que possa ser aproximada por um plano infinito, com aberturas através das quais o campo penetra a região de fronteira . Nesse caso, tomando como o plano e como um plano paralelo ao plano localizado infinitamente distante da origem, mas no lado positivo do eixo , através do método das imagens, é fácil ver que a função de Green de Dirichlet é dada por

onde

Portanto, na região de interesse, isto é, quando e ,

e, como e , segue que

Portanto,

e

se estiver sobre o plano . Logo, essa é a forma da função de Green para a condição de Dirichlet. Incidentalmente, também vemos que se anula sobre , como deveria ser.

Falta agora verificarmos a consistência de nossa hipótese acerca da igualdade

Para isso, sobre , temos

Mas,

e

Analogamente,

e

No limite em que torna-se infinitamente grande,

como esperado.

A teoria escalar da difração com condição de contorno de Dirichlet é dada em termos da equação

Logo acima, como exemplo concreto, tomamos um caso especial com a função de Green de uma superfície plana infinita, mas, para qualquer outro problema, a prescrição é usar a equação acima com a função de Green de Dirichlet adequada. Além de escolher a função de Green adequada, a aproximação que normalmente é feita consiste em supor que o campo é nulo em todo ponto da superfície , exceto nas aberturas, onde o valor do campo é tomado como aquele da onda incidente na região da abertura.

😎

Música desta postagem: Waltz in A-flat major Op. 69 No. 1 de Frédéric Chopin, por Monica Alianello

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

Uma versão em PDF

Gostou desta postagem? Então clique no botão abaixo e siga o Nerdyard no Twitter! Toda vez que houver uma nova postagem aqui, você saberá imediatamente! :cool:

Siga Nerdyard no Twitter

Melhor ainda: inscreva-se em Nerdyard e receba, por e-mail, o aviso com links para cada nova postagem ou novidade.

Google Groups
Inscreva-se em Nerdyard
Melhor email:
Visite este grupo

NOTE QUE EU ODEIO SPAM COM TODA CONVICÇÃO! :cool:

Dessa forma, não se preocupe: eu juro que jamais fornecerei seu endereço de e-mail ou qualquer outra informação sobre você para ninguém!

Clip to Evernote

1 Comentário for Teoria Escalar da Difração

  1. » Equivalente Vetorial da Integral de Kirchhoff | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    abril 30, 2010 @ 11:51

    […] estudo da teoria escalar da difração, obtivemos a chamada integral de Kirchhoff para um campo escalar. Agora, vamos considerar o Teorema […]

RSS comments feed· TrackBack URI Teoria Escalar da Difração

Deixe um comentário for Teoria Escalar da Difração

Editor de Equações (www.codecogs.com/latex/eqneditor.php)

Para entender como utilizar esse editor de equações, clique aqui.