Super-operadores

Em mecânica quântica, normalmente, podemos chegar ao ponto em que super-operadores sejam realmente úteis para facilitar os cálculos e a expressão compacta de resultados matemáticos. Ao invés de fornecer uma definição matemática formal, vou apresentar um exemplo prático. Seja um operador que opera nos estados de um espaço de Hilbert de dimensão finita, por exemplo. Então, podemos representar por uma matriz quadrada. Um super-operador é algo que leva, linearmente, o operador a um outro operador no mesmo espaço .

Por exemplo, dado um operador hamiltoniano , então o objeto , cuja ação linear sobre um qualquer operando em é dada por

é um super-operador. Outro bom exemplo é o do super-operador , definido por

onde é uma constante real, é um operador hamiltoniano e vamos supor que seja outro operador hermitiano, isto é,

É importante notarmos que ambos os super-operadores e são lineares. Para vermos isso, tomemos dois operadores, e , e duas constantes complexas, e . Assim, por exemplo,

Mas a equação

é justamente o que entendemos por linearidade do super-operador . É ainda mais fácil provar que também é linear e convido a leitora e o leitor a aventurarem-se nesse exercício.

Não é sem razão que apresentei os super-operadores e acima, pois estarei, em futuras postagens, falando mais sobre eles. Esses super-operadores aparecem em mecânica quântica de sistemas abertos e eu gostarei deveras de falar mais sobre isso. Minha intenção aqui é discutir coisas que tenho utilizado para minhas investigações científicas e poder, assim, compartilhar meus achados com uma ampla audiência.

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4 Comments for Super-operadores

  1. » Super-operadores que comutam | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    fevereiro 23, 2010 @ 18:04

    […] super-operadores e que defini anteriormente vão aqui exemplificar super-operadores que comutam. Antes, porém, devo fornecer um contexto […]

  2. » A equação de Lindblad para uma medida quântica | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 3, 2010 @ 18:03

    […] postagem sobre super-operadores, consideramos, como exemplo, o seguinte […]

  3. Leonardo Andreta de Castro said,

    março 15, 2010 @ 20:21

    Interessantes esses superoperadores. Ainda não sei para que eles servem, mas sei uma coisa para a qual não servem: fazer matrizes-densidade evoluir, já que nenhum deles preserva o traço. Qualquer coisa sobre a qual atue passa a ter traço zero, enquanto .

  4. reginaldo said,

    março 16, 2010 @ 9:35

    Grato deveras pelo comentário, Leonardo. De fato, como um comutador sempre tem traço nulo, o super-operador , por exemplo, leva um operador a outro com traço nulo. No entanto, a exponencial de preserva o traço. Veja um exemplo da utilidade desses super-operadores na postagem “A equação de Lindblad para uma medida quântica”.

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