Super-operadores que comutam

Os super-operadores e que defini anteriormente vão aqui exemplificar super-operadores que comutam. Antes, porém, devo fornecer um contexto adequado. Suponhamos que o espaço de Hilbert seja, na verdade, o produto tensorial de dois outros espaços de Hilbert, e . Assim, como é usual, escrevemos

Como

vamos supor que e sejam operadores que modifiquem apenas estados de . Também, como

suponhamos que seja um operador hamiltoniano que modifique apenas estados de . Logo,

e

No contexto exposto acima, então, os super-operadores e comutam, isto é,

Para realmente vermos isso, consideremos um operador qualquer. Assim, calculemos:

Dada a arbitrariedade de , segue que

ou seja, permitindo-me um certo abuso notacional,

Dessa comutação de super-operadores segue que

e também

É claro que aqui definimos a exponencial de um super-operador em termos de sua expansão em série de potências, ou seja, por exemplo,

Como os super-operadores e comutam, podem ser tratados como dois números reais no contexto das exponenciais acima e, como esses resultados valem para os reais, também valerão para os super-operadores que comutam.

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