Sobre trabalho e variação de energia cinética

Revendo recentemente minhas postagens de mecânica clássica, notei um detalhe na postagem Energia, momentum e momentum angular que é digno de nota. Lá, fiz uso da segunda lei de Newton e demonstrei o teorema que enuncia ser o trabalho da força aplicada a uma partícula de massa entre os pontos e igual à variação de energia cinética entre esses pontos. Abordando esse mesmo tópico em aula, percebi que é necessário deixar explícito que esse teorema só vale para a força resultante sobre a partícula, mas não vale para uma das diversas forças que podem estar, simultaneamente, atuando sobre a partícula. É que a segunda lei de Newton vale para a resultante das forças! Quando escrevemos:

o vetor é para ser entendido como a força total atuando sobre o corpo ao qual estamos aplicando a segunda lei de Newton.

Vamos analisar um exemplo. Para uma partícula de massa sobre a superfície de uma mesa com atrito, podemos aplicar, com a mão, uma força variável que move a partícula desde até ao longo de uma linha reta, com velocidades inicial e final iguais a zero. A força resultante sobre a partícula é dada por:

onde é a força, dependente do tempo, exercida pela mão que empurra a partícula, é a força de atrito dinâmico, é força peso e é a força normal. O peso cancela a normal em cada ponto do movimento e, portanto, efetivamente, a Eq. (2) fica:

Veja que o trabalho da força de atrito pode ser escrito como:

onde usamos a Eq. (3).

Ora, já sabemos, da postagem Energia, momentum e momentum angular, que o trabalho da força total, é igual à variação da energia cinética no trecho desde até No presente exemplo, a variação da energia cinética é nula, pois, propositalmente, movemos a partícula, com a mão, de forma a começar e terminar seu trajeto com velocidade nula. Então, sabendo tudo isso, agora podemos escrever a Eq. (4) assim:

Em outras palavras, para fazer esse movimento sem variar a energia cinética, devemos aplicar a força com a mão de tal forma a igualar o trabalho de nossa força com aquele exercido pela força de atrito. Isso nós fazemos aumentando a força até vencermos o atrito estático e continuarmos com a força constante até um ponto próximo a quando então diminuímos a intensidade de até abaixo da máxima força de atrito estático. Lembre-se que existe um valor máximo de força aplicada sobre a partícula em contato com a mesa até ela começar a se mover, quando a força de atrito dinâmico, passa a atuar. Durante a atuação da força de atrito estático, por não haver movimento, não há trabalho executado, nem pela força de atrito estático, nem pela força Mais detalhadamente, é assim: a mão começa a fazer força a partir da intensidade nula e vai fazendo cada vez mais força, mas nenhum movimento acontece até que a mão faça uma força um pouquinho maior do que a intensidade máxima da força de atrito estático. Enquanto a partícula não se mover, não haverá trabalho realizado pela força da mão. Logo depois disso, a força de atrito dinâmico é menor do que a força de atrito estático máxima e, portanto, a força da mão ganha da força de atrito dinâmico e começa a acelerar a partícula. Então, a mão pode começar a diminuir a força aplicada até que a velocidade da partícula fique constante durante a maior parte do trajeto. Perto do final, a mão começa a diminuir a intensidade da força aplicada e a partícula começa a desacelerar até, finalmente, parar, quando a força exercida pela mão fica menor do que a máxima intensidade da força de atrito estático. A partir desse instante, a mão pode ir relaxando até não mais produzir força alguma sobre a partícula e, durante esse relaxamento, em que a partícula está parada, não há trabalho realizado pela força da mão. Um site interessante para ver o perfil da força de atrito é o seguinte: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/frict2.html.

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1 Comentário for Sobre trabalho e variação de energia cinética

  1. reginaldo said,

    agosto 6, 2014 @ 11:17

    No Facebook, Rafael B Frigori colocou uma pergunta interessante: “Um aluno chato iria lhe perguntar: prof. mas como fica o princípio de superposição dado que a lei de Newton é linear ? Ah propósito, adoro seu site!”

    Eis minha resposta:

    Grato deveras, Rafael, pela pergunta, por mais uma de suas belas questões. E, é claro, por elogiar o site! Valeu!

    Vamos supor que tenhamos uma força agindo sobre uma partícula de massa Nesse caso, o trabalho dessa força resultante é igual à variação da energia cinética da partícula:

    onde é a função módulo da velocidade da partícula quando atuada pela força (a velocidade correspondente é o vetor ), e são os vetores posição da partícula quando está no ponto e no ponto respectivamente, e é uma curva representando a trajetória da partícula desde o ponto até o ponto quando a partícula é atuada pela força De forma completamente análoga, no caso em que, ao invés de a força resultante é o trabalho dessa força, na correspondente trajetória fica:

    onde é a função velocidade da partícula quando atuada pela força (a velocidade correspondente é o vetor ). Note que aqui estou fazendo uma hipótese que, em geral, não precisa valer: a de que a trajetória passa pelos mesmos pontos que a trajetória Mesmo que passe, em geral não leva o mesmo tempo que na trajetória

    Vamos supor, agora, que a partícula seja atuada pela superposição das forças, Nesse caso, a segunda lei de Newton é linear. Para ver isso, note que:

    e

    onde é o vetor velocidade da partícula, como função do tempo, quando atuada pela soma de forças Como, pela segunda lei de Newton, as Eqs. (3), (4) e (5) devem valer, segue que a soma, membro a membro, das Eqs. (3) e (4) dá:

    Pela definição da força resultante e pelas Eqs. (5) e (6) concluímos que:

    isto é, a aceleração imposta pela superposição de duas forças é igual à superposição das duas acelerações respectivas às duas forças superpostas. Isso é o que linearidade significa.

    Vamos ver agora como fica o trabalho da força Nesse caso, obviamente, a trajetória não será, nem nem pois a aceleração, em cada ponto, é diferente de cada uma das acelerações individuais. A partícula executará uma outra trajetória, que, em geral, pode não passar pelos dois pontos e Pode até ser que passe pelo mesmo ponto ou mas, em geral, mesmo passando por um dos pontos, não passará pelo outro. Ditas essas coisas, o trabalho da força é dado por:

    onde estou fazendo uma hipótese que é quase um abuso da sorte: a de que a trajetória passa pelos pontos e Agora, veja que a Eq. (7) implica que:

    onde é uma constante (não depende do tempo, nem do espaço) arbitrária. Substituindo a Eq. (9) na Eq. (8), podemos, então, escrever:

    isto é,

    ou seja,

    ou ainda, rearranjando os termos:

    já que, por exemplo,

    Comparando os quatro primeiros termos do segundo membro da Eq. (10) com as Eqs. (1) e (2), obtemos:

    Como é uma constante arbitrária, podemos dizer, com certeza, que a Eq. (11) implica que:

    em geral. Então, mesmo nesta situação completamente favorável, com todas as hipóteses sobre as trajetórias feitas para ajudar, ainda assim a soma dos trabalhos individuais não é igual ao trabalho da superposição das duas forças correspondentes. Isso mostra que a linearidade da segunda lei de Newton não implica que o trabalho também é linear.

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