Sistemas de coordenadas em movimento

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Na superfície da Terra estamos em movimento de translação em torno do Sol e rotação em torno do eixo terrestre, além, é claro, do movimento que o sistema solar inteiro tem pela nossa galáxia. Qualquer sistema de coordenadas fixo com relação à superfície da Terra é, portanto, um sistema de coordenadas em movimento. Mas, em movimento com relação a que referencial? Ao Sol? Certamente, mas não apenas com relação ao Sol; a Terra tem movimentos acelerados que podem ser detectados usando, por exemplo, um pêndulo de Foucault. Nesta postagem quero demonstrar o teorema de Coriolis. Esse teorema estabelece a relação entre a aceleração em um referencial girante e a aceleração em um referencial inercial, isto é, desprovido de acelerações.

Seja o sistema de coordenadas de origem no ponto e com versores fixos no espaço e Considere que a origem também esteja fixa no espaço. Agora, seja um sistema de coordenadas que tem a mesma origem que o sistema porém seus eixos estão girando solidamente com relação aos eixos coordenados de Assim, os versores do sistema girante são funções vetoriais do tempo e são escritos e Qualquer vetor pode ser escrito em termos de suas coordenadas em ou em isto é,

e

onde e são suas coordenadas com relação ao sistema que permanece fixo no espaço, e e são suas coordendas com relação ao sistema cujos eixos giram solidamente com relação ao sistema

Agora vamos tomar as derivadas temporais das Eq. (1) e (2):

e

já que os versores e são dependentes do tempo em um sistema de coordenadas girante. Para quem está girando junto com o sitema apesar da tontura, os eixos coordenados e estão, relativamente ao observador fixo em parados. Logo, esse observador tonto calcula a variação temporal de não como nas Eqs. (3) e (4) acima, mas sim como

Substituindo a Eq. (5) na Eq. (4) dá

Como quaisquer vetores podem ser escritos em termos da base formada pelos versores e segue que

e

onde as constantes ‘s, ‘s e ‘s devem ser determinadas. Multiplicando escalarmente a Eq. (7) por

Mas,

Logo,

Multiplicando escalarmente a Eq. (7) por

Mas,

e, portanto,

Multiplicando escalarmente a Eq. (7) por

Mas,

e, portanto,

De maneira análoga, multiplicando a Eq. (8) escalarmente por e fornece

isto é,

e

Finalmente, multiplicando a Eq. (9) escalarmente por e fornece


e

isto é,

Das Eqs. (11) e (13) segue que

Das Eqs. (12) e (16) segue que

Das Eqs. (15) e (17) segue que

Com as Eqs. (10), (14), (18), (19), (20) e (21), as Eqs. (7), (8) e (9) ficam

e

Note que é possível definir um vetor assim:

tal que

e

Comparando a Eq. (22) com a Eq. (26), a Eq. (23) com a Eq. (27) e a Eq. (24) com a Eq. (28) fornece

e

Substituindo as Eqs. (29), (30) e (31) na Eq. (6) resulta em

isto é,

ou seja,

onde usei a Eq. (2). Como a Eq. (32) vale para qualquer vetor segue que

e, portanto,

que é uma propriedade interessante.

Agora estamos em condições de demonstrar o teorema de Coriolis. Temos, da Eq. (32), que a derivada temporal de segunda ordem do vetor é dada por

que, usando novamente a Eq. (32) fornece

isto é,

ou seja,

ou ainda,

onde usei a Eq. (33). Tomando o vetor como sendo o vetor posição na Eq. (34) resulta no teorema de Coriolis:

O vetor é chamado velocidade angular de rotação instantânea. O termo é chamado de aceleração centrípeda, o termo é chamado de aceleração de Coriolis e o termo só aparece se a velocidade angular de rotação não for constante, mas não tem um nome específico.

Da segunda lei de Newton e da Eq. (35), segue que a força resultante sobre uma partícula de massa é dada por

isto é,

ou seja,

O termo é a chamada força centrífuga e é conhecida como a força de Coriolis. Essas forças são denominadas forças fictícias, já que têm sua origem no movimento acelerado do referencial em movimento. O termo não tem um nome específico e só aparece se a frequência angular não for constante no tempo.

Quando o sistema de coordenadas além de girar, também tem translação com relação a então há uma origem diferente em que vou chamar de e que é separada da origem de pelo vetor instantâneo Assim, um vetor em pode ser escrito em termos de suas coordenadas com relação a , dadas pelo vetor assim:

Então,

isto é,

onde usei a Eq. (32), que vale para as coordendas girantes de que giram em torno de Agora decorre da Eq. (38) que

ou seja,

onde usei a Eq. (35).

😎

Bibliografia

[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: Sonata No. 15 in D major Op. 28 “Pastorale” (Rondo – Allegro ma non troppo) de Ludwig van Beethoven, por Kaila Rochelle

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2 Comments for Sistemas de coordenadas em movimento

  1. guilherme said,

    novembro 30, 2011 @ 0:28

    olá, professor. eu gostaria de entender a passagem que acontece depois da exposição da equação 33, quando você diferencia a equação 32 com respeito a t. porque nao há o termo ?

    obrigado professor.

  2. reginaldo said,

    novembro 30, 2011 @ 9:44

    Olá Guilherme,
    Grato deveras pelo seu comentário! Note que não estou derivando a Eq. (32) com relação ao tempo. O que estou fazendo é colocando no lugar de na Eq. (32). Isso é possível porque, como menciono na postagem, a Eq. (32) vale para qualquer vetor . Espero que você tenha entendido agora.

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