Simplificação de matrizes dois por dois para fácil diagonalização

Há agora, em Nerdyard, uma boa coleção de postagens envolvendo a diagonalização de matrizes, no contexto de mecânica clássica (veja os links no final desta postagem). Porém, as técnicas ensinadas nessas publicações são de valia para outros cursos também, notadamente os de mecânica quântica. Aqui vou apresentar duas propriedades de matrizes dois por dois reais que, exploradas como explico abaixo, simplificam a diagonalização dessas matrizes. Uma dessas propriedades é como simetrizar uma matriz dois por dois qualquer. A outra é que sempre podemos alterar a diagonal principal dessas matrizes para poder encontrar autovalores de uma forma quase que instantânea, sem ter que usar a fórmula de Bhaskara. Uma ilustração desse método de simplificação está na videoaula Diagonalização rápida.

Vamos considerar uma matriz dois por dois real qualquer, que queremos diagonalizar:

Para achar os autovalores, procedemos como explicado nas postagens Dois osciladores harmônicos acoplados e Diagonalizando uma matriz dois por dois simétrica, isto é, dada a Eq. (1), procuramos pelos valores de tais que

onde é a matriz identidade dois por dois, ou seja,

Das Eqs. (1), (2) e (3) segue que devemos calcular o seguinte determinante para encontrar os autovalores de

onde os possíveis valores de satisfazendo a Eq. (4) são os autovalores procurados. O problema é que, no caso em que e são números não nulos, a equação para é obtida da Eq. (4) e dá

isto é,

que é uma equação quadrática. É claro que sabemos que as soluções possíveis para a Eq. (6) são dadas por

ou seja,

ou ainda,

Embora a matriz seja real, com todos seus elementos reais, os autovalores da Eq. (7) podem ser complexos, com partes imaginárias não nulas, bastando, para isso, termos Não há problema algum nisso, pois tudo vai depender do contexto que envolve a diagonalização da matriz dada. Devemos, portanto, considerar o caso geral, mesmo que os autovalores não sejam reais.

O primeiro caso que vamos considerar é quando ou Neste caso, a Eq. (7) dá, simplesmente,

isto é,

que não tem graça alguma, pois é trivial. Já poderíamos ter resolvido o problema imediatamente, só olhando a Eq. (5), que, no caso em que ou

A Eq. (9) exibe as soluções como sendo ou coincidindo com as possíveis respostas escritas na Eq. (8), seja ou ou Lembre-se: se ou então as respostas para os autovalores já estão escritas na própria diagonal principal da matriz! Uma vez esclarecida essa situação trivial, a seguir vamos considerar o caso mais geral, em que e são ambos não nulos.

Uma matriz simétrica, como vimos na postagem Diagonalizando uma matriz dois por dois simétrica, é diagonalizável de maneira relativamente fácil. Mas, aqui, vamos considerar uma matriz em que e podem ser diferentes, embora não nulos. Veja que interessante esta propriedade:

A matriz

é simétrica. Note que não há problemas com as divisões por e por pois ambos esses números são, por hipótese, não nulos. Seja

que é a matriz que, multiplicada por da Eq. (11), dá a matriz original, da Eq. (1), como vemos na Eq. (10), isto é,

Podemos definir a matriz como sendo a raiz quadrada de isto é,

que você pode verificar multiplicando a matriz por ela mesma e vendo que o resultado é a matriz

Você pode estar se perguntando o que fazer quando ou for negativo. A resposta para essa pergunta é simples: se por exemplo, tome

onde é a identidade imaginária,

É muito fácil inverter a matriz da Eq. (14):

como pode ser verificado multiplicando as Eqs. (14) e (18), isto é,

onde é a matriz identidade (cf. Eq. (3)). Usando as Eqs. (11) e (14), note agora a seguinte propriedade:

isto é,

que é uma matriz simétrica, com os mesmos elementos da diagonal principal da matriz original, da Eq. (1). A estratégia agora é encontrar os autovalores e autovetores da matriz da Eq. (20), e usá-los para diagonalizar a matriz original, da Eq. (1). Como podemos fazer isso?

Suponha que é um autovetor da Eq. (20), com autovalore ou seja,

Vamos multiplicar ambos os membros da Eq. (21) por

isto é,

Mas, é evidente que

onde usamos as Eqs. (15) e (19). Substituindo a Eq. (23) na Eq. (22), dá

onde também usamos a Eq. (13). A Eq. (24) prova que, dado um autovetor com autovalor da matriz segue que o correspondente autovetor da matriz original, é dado por com o mesmo autovalor da matriz Veja também que

usando as Eqs. (13), (15) e (19). Qual a vantagem de ter uma matriz simétrica para diagonalizar?

Se e são dois autovetores da matriz simétrica, com respectivos autovalores e sendo que então esses autovetores são ortogonais. Para ver isso, sejam

e

Das Eqs. (20) e (26), vem

isto é,

e

Da Eq. (29) segue que

Procedendo de maneira exatamente análoga, podemos concluir que, para e obtemos

Vamos calcular o produto escalar entre e

onde é a transposta da matriz coluna que representa o autovetor com autovalor Usando as Eqs. (31) e (32), podemos reescrever a Eq. (33) como

Como vimos nas Eqs. (21) e (24), os autovalores da matriz são os mesmos da matriz que são dados pela Eq. (7). Sejam, portanto,

e

Usando as Eqs. (7), (35) e (36) na Eq. (34), dá

mostrando a ortogonalidade desses autovetores. O que ganhamos com isso? Ora, se soubermos um dos autovetores, digamos, da Eq. (26), o outro é fácil:

que é, obviamente, ortogonal a Note que autovetores são sempre definidos a menos de uma constante arbitrária multiplicativa, pois, por exemplo,

para qualquer constante Então, basta achar um autovetor, o outro vem de graça! Isso é válido só para matrizes simétricas; você pode verificar que os autovetores da matriz original, da Eq. (1), com não são ortogonais.

Finalmente, a outra propriedade que ajuda a facilitar a determinação dos autovalores e autovetores de matrizes dois por dois é a que segue. Já reduzimos o problema ao de determinar os autovalores e apenas um autovetor da matriz da Eq. (20), que é igual à matriz Considere, agora, a matriz definida por

onde definimos como

A propriedade que anunciei acima é que os autovetores da Eq. (40) são exatamente os mesmos da Eq. (20). Para ver isso, considere a multiplicação da matriz a

onde usamos as Eqs. (26), (28) e (40). Obviamente, como você pode verificar, também temos

onde, conforme mencionado logo acima da Eq. (26), é o autovetor da matriz com autovalore Encontrar os autovalores da matriz definida pela Eq. (40), é bem simples, pois, tudo o que temos a fazer, é encontrar os valores possíveis de tais que satisfaçam:

que dá

ou seja,

ou ainda

Para achar um dos autovetores, por exemplo, fazemos

que dá

onde usamos as Eqs. (40) e (47). A Eq. (49) fornece

Portanto, um autovetor pode ser escrito como

Como deve ser ortogonal a segue que

Para achar os autovetores da matriz basta multiplicar as Eqs. (50) e (51) por conforme vimos na Eq. (24). Então, das Eqs. (18), (51) e (52), vem

e

Como autovetores são definidos a menos de uma constante multiplicativa, segue que podemos definir os autovetores e da matriz através das Eqs. (53) e (54), fazendo:

e

com autovalores, respectivos, dados pelas Eqs. (42), (43) e (47), isto é,

que dá

e

ou seja,

Você pode facilmente verificar, usando a Eq. (41), que as Eqs. (58) e (60) são exatamente os autovalores de já calculados na Eq. (7).

Em suma, fica muito fácil resolver o problema de diagonalização da matriz geral, da Eq. (1). Basta tomar a matriz dada pela Eq. (14), calcular a matriz da Eq. (40), e diagonalizá-la. Os autovalores da matriz serão os da matriz acrescidos de enquanto que os autovetores de podem ser obtidos a partir dos de multiplicando-os por da Eq. (18). Não se esqueça que, como é simétrica, basta encontrar um dos seus autovetores, pois o outro será seu ortogonal, a menos de uma constante multiplicativa, como nas Eqs. (51) e (52)

😎

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