Setores econômicos em um espaço ultramétrico

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Suponhamos que temos os preços de fechamento de várias ações em pregões. É conveniente definirmos a seguinte variável:

onde indexa os pregões variando de a e é o preço da -ésima ação. Ao invés de indexarmos o pregão por como acima, escrevamos assim:

onde agora índices gregos denotam os números dos pregões. Dessa forma, acima, varia de a Temos, portanto, valores de .

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É conveniente definirmos:

onde

e

Podemos construir, para cada ação, um vetor no espaço euclidiano de dimensões com as componentes O produto escalar desse vetor para duas ações dá:

isto é,

ou seja,

ou ainda,

O coeficiente de correlação, entre a -ésima e a -ésima ações é, convenientemente, definido por

e, portanto,

Esses vetores têm, portanto, módulo unitário:

É fácil ver que

se notarmos que

e

Então, obviamente,

para todo real. Logo,

ou seja,

Como essa desigualdade deve valer para todo real, escolhemos

e obtemos

isto é,

e, portanto,

demonstrando que

isto é,

A distância euclidiana entre dois desses vetores é obtida como segue:

Com base nessa distância, podemos definir uma outra, chamada distância ultramétrica, de acordo com o algoritmo de Kruskal. A idéia é construir uma árvore de extensão mínima. É fácil depois de um pouco de treinamento. Tudo começa com a idéia de que o espaço métrico de dimensões acima, com a distância pode ser utilizado para gerar um espaço ultramétrico conforme o algoritmo de Kruskal.

Usando dados que acumulei desde meados de 2004 até meados de 2009, referentes a todos os pregões desse período, selecionei os preços de fechamento das ações dos Bancos Bradesco (BBDC4) e do Brasil (BBAS3), da Usiminas (USIM5), da Companhia Siderúrgica Nacional (CSNA3), das Lojas Americanas (LAME4) e da TELESP (TLPP4). Com esses números, construí a seguinte tabela de distâncias

Vemos que a menor distância é , entre BBAS3 e BBDC4, dois bancos. A seguinte menor distância é entre BBDC4 e LAME4, um banco e uma empresa do setor de consumo geral. Depois, é entre USIM5 e CSNA3, duas empresas do setor de siderurgia e metalurgia. Enfim, essas distâncias são menores entre empresas de mesmo setor ou de setores interdependentes. Continuando dessa forma e deixando de desenhar linhas que conectam ações de modo a dar origem a um circuito fechado, obtemos a figura abaixo para a árvore de extensão mínima dessas seis ações.

Agora precisamos construir uma hierarquia de distâncias subdominantes ultramétricas, analogamente ao que está feito no livro de Rosario Nunzio Mantegna e de H. Eugene Stanley. A figura abaixo mostra a hierarquia obtida entre as ações que estamos considerando. Com base nessa hierarquia, a tabela abaixo mostra as distâncias ultramétricas

Com esses dados, podemos construir a árvore abaixo, mostrando a proximidade entre ações de mesmo setor e entre setores afins. Você vê como as correlações de preços traduzem a afinidade setorial entre as empresas? Que interessante!

😎

Música desta postagem: The Tale de Dimitri Kabalevsky, por Nathan Coleman

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