Rotação em torno de um eixo

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Um corpo rígido é definido como um conjunto de partículas cujas distâncias entre si mantêm-se fixas, mesmo que o corpo como um todo movimente-se. Uma rotação em torno de um eixo acontece quando o corpo rígido gira em torno de um eixo fixo no espaço, que vou escolher como o eixo Nesse caso, o movimento do corpo é descrito por um único ângulo. Para ver isso, imagine um segmento de linha reta fixo no corpo rígido, que seja perpendicular ao eixo de rotação que, neste caso, é o eixo Seja o ângulo entre o plano e a linha reta que contêm o segmento de reta fixo no corpo rígido. Esse ângulo descreve a posição do corpo rígido. O segmento vermelho na figura abaixo ilustra como podemos medir a rotação do corpo em termos do ângulo

Em coordenadas cilíndricas, seja a distântica da -ésima partícula do corpo rígido até o eixo Suponha que essa partícula tem massa Também suponha que o ângulo seja aquele que o plano faz com o plano que contém a -ésima partícula e o eixo Então, o momentum angular dessa partícula, com relação ao eixo é dado por

onde é a velocidade da -ésima partícula, que é puramente tangencial, já que o movimento é, por hipótese, apenas uma rotação em torno do eixo Se o corpo rígido é constituído de partículas, seu momentum angular com relação ao eixo é dado por

Como o corpo é rígido, a velocidade angular de todas as partículas é idêntica e, portanto,

onde é a velocidade angular do corpo rígido. A quantidade entre parênteses,

é denominada de momento de inércia do corpo rígido com relação ao eixo de rotação O torque sobre o corpo rígido é, portanto,

No caso de um corpo rígido contínuo, de massa total e densidade podemos escrever o momento de inércia com relação ao eixo como

onde é o elemento de volume e a integral deve ser feita sobre todo o volume do corpo rígido.

😎

Bibliografia
[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: Roman Sketches (The Fountain of the Acqua Paola) de Charles Tomlinson Griffes, por Mark Budd

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