Rotação de um corpo rígido e as equações de Euler

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As componentes e de um vetor podem ser escritas em termos de produtos escalares entre e os versores da base e isto é,

e

Como

segue que podemos também escrever o vetor assim:

Essa expressão sugere uma notação bastante curiosa: que tal escrevermos

e definirmos o produto diádico entre dois vetores quaisquer e como a simples justaposição com o entendimento implícito de que um produto escalar com um terceiro vetor será tomado para que essa quantidade faça sentido? Então, podemos definir a díade identidade como

e, portanto,

Uma díade também pode ser pensada como outra maneira de representar um tensor. Nós não vamos nos deter mais nisso nesta postagem, mas a utilização da notação diádica é muito útil no que segue.

Para a rotação de um corpo rígido, o torque é igual à derivada temporal do momentum angular isto é,

Na postagem sobre rotação em torno de um eixo há a ideia de que em um corpo rígido todas as partículas giram em torno de um eixo com a mesma velocidade angular Agora, para o caso geral em que não há apenas um eixo de rotação, podemos pensar em como variando no tempo, mas de tal forma que, em cada instante, todas as partículas giram em torno do eixo instantâneo dado por Que esse é o caso geral demonstramos na postagem sobre sistemas de coordenadas em movimento. Assim, para partículas pontuais, temos

onde a velocidade da -ésima partícula é dada por

A Eq. (2) pode ser reescrita como

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Na Eq. (4) reconhecemos o tensor

que é chamado de tensor de inércia e podemos reescrever a Eq. (4) como

No caso de um corpo rígido composto por um contínuo de matéria, com densidade de massa podemos reescrever a Eq. (5) como

onde a integral é sobre todos os pontos onde é diferente de zero.

Está claro na Eq. (5) que muda no tempo porque varia no tempo. No entanto, em um sistema de coordenadas que gira junto com o corpo, em torno do eixo instantâneo é constante. Então, vamos mudar de sistema de coordenadas para o sistema que gira com o corpo rígido. Dessa forma, de acordo com a postagem sobre sistemas de coordenadas em movimento, temos

A substituição da Eq. (6) na Eq. (8) fornece

onde usei o fato de que é constante no sistema de coordenadas Também sabemos que, de acordo com a postagem sobre sistemas de coordenadas em movimento,

e, com isso, a Eq. (9) fica

É interessante, neste ponto da discussão, notar que o tensor de inércia, representado pela díade da Eq. (5) ou da Eq. (7), é simétrico. Para ver isso, podemos escrever o tensor de inércia na forma matricial. Da Eq. (7), por exemplo, fica claro que

isto é,

ou seja,

Podemos agora montar uma matriz assim:

que, usando a Eq. (11), resulta em

Da Eq. (12), vemos que

e

mostrando que o tensor de inércia é simétrico. Porque é simétrico, existe um sistema de coordenadas que diagonaliza o tensor de inércia, que então pode ser escrito assim:

onde os versores e são os chamados eixos principais do corpo rígido, ou auto-vetores de e, como é possível, são escolhidos ortogonais, mesmo quando há degenerescência, isto é, quando pelo menos dois dos auto-valores e são iguais. Note que os eixos principais do corpo rígido são fixos a ele e, portanto, giram juntamente com o corpo rígido.

Substituindo a Eq. (13) na Eq. (10), obtemos

isto é,

onde escrevemos em componentes ao longo dos eixos principais, isto é,

e, como os versores ao longo dos eixos principais são escolhidos ortogonais entre si, também são numerados convencionalmente de modo a termos

e suas permutações cíclicas. Usando a Eq. (15), obtemos

isto é,

ou seja, com a Eq. (16) e suas permutações cíclicas, obtemos

ou ainda,

Substituindo a Eq. (17) na Eq. (14) e tomando suas componentes ao longo dos eixos principais do corpo rígido, obtemos

e

As Eqs. (18), (19) e (20) são conhecidas como as equações de Euler para o movimento de um corpo rígido. Se um ponto do corpo permanece fixo durante o movimento, então a origem dos eixos principais é escolhida como aquele ponto. Quando não há um ponto fixo, o centro de massa do corpo rígido é escolhido como a origem dos eixos principais. Os momentos de inércia e os torques são todos calculados com relação à origem dos eixos principais.

Na ausência de torques externos, a Eq. (10) mostra que

Assim, para que possamos ter um movimento com constante, é necessário que

isto é, que seja paralelo a

para alguma constante real Note que a Eq. (21) é uma equação de auto-valores e auto-vetores, mostrando que deve ser um dos autovalores de e um de seus auto-vetores. Logo, deve estar ao longo de um dos eixos principais do corpo rígido, para que esse corpo possa girar com constante.

A energia cinética do corpo rígido é dada por

A substituição da Eq. (3) na Eq. (22) fornece

isto é,

ou seja,

ou ainda, usando a Eq. (2), obtemos

Substituindo a Eq. (6) na Eq. (23), obtemos

No sistema de coordenadas é constante e, portanto,

Como é simétrico, decorre que

isto é,

Logo, substituindo a Eq. (26) na Eq. (25), obtemos

Substituindo a Eq. (24) na Eq. (27), obtemos

isto é,

Nós já sabemos que

e, portanto, a Eq. (28) pode ser reescrita como

onde já usei o fato de que

pois a energia cinética é um escalar. Substituindo a Eq. (10) na Eq. (29), obtemos

isto é,

já que, obviamente,

Um corpo rígido simétrico girando livremente

Vamos considerar agora um corpo rígido com dois dos momentos de inércia principais iguais, isto é, um corpo rígido simétrico, na ausência de torques externos. Nesse caso, as Eqs. (18), (19) e (20) ficam

e

onde, por conveniência notacional, definimos

A Eq. (33) mostra que é constante. Derivando a Eq. (31) com relação ao tempo, obtemos

Substituindo a Eq. (32) na Eq. (35), obtemos

A solução geral da Eq. (36), que descreve um oscilador harmônico unidimensional com frequência é escrita como

onde e são constantes para ser determinadas a partir das condições iniciais do problema. Tomando a derivada temporal da Eq. (37), obtemos

Substituindo a Eq. (38) na Eq. (31), obtemos

isto é,

ou seja,

As Eqs. (37) e (39) indicam que o vetor pode ser escrito como

onde usei a Eq. (15). Vemos, portanto, que o vetor precessa em torno do eixo principal com velocidade de precessão dada por A magnitude de é calculada assim:

O cosseno do ângulo entre e é dado por

onde usei as Eqs. (40) e (41). Podemos também calcular o momentum angular através da Eq. (6), e usando as Eqs. (13) e (4), vemos que o resultado é dado por

onde já utilizei o fato de que estamos tradando o caso simétrico onde Veja que também precessa em torno de com velocidade angular de precessão dada por

No espaço, é constante quando de acordo com a Eq. (1). O cosseno do ângulo entre e é dado por

Usando a Eq. (43), obtemos

isto é,

Com o uso das Eqs. (40), (41), (43) e (45), a Eq. (44) pode ser reescrita como

que é constante, isto é, o ângulo entre e é constante, sendo que permanece fixo no espaço. Logo, precessa em torno de Da mesma forma que já vimos que precessa em torno de no sistema de coordenadas que gira junto com o corpo rígido, podemos dizer que, no sistema de coordenadas fixo no espaço, o eixo precessa em torno de Então, visto a partir do sistema de coordenadas fixo no espaço, permanece fixo enquanto o plano formado pelos vetores e que contém gira em torno de com velocidade angular

Da Eq. (34), obtemos

Substituindo a Eq. (47) na Eq. (46), obtemos

isto é,

ou seja,

ou ainda, usando a Eq. (42),

A Eq. (48) pode ser simplificada assim:

isto é,



😎

Bibliografia

[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: Mazurka in C Sharp Minor Op. 50 No. 3 de Frédéric Chopin, por Roberto Carnevale

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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