Relações de Kramers-Kronig ou relações de dispersão

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Da análise do modelo de Drude-Lorentz segue que a polarização em um meio dispersivo não é proporcional ao campo elétrico. No entanto, definimos a polarização complexa, , que é proporcional ao campo elétrico complexo, isto é,

onde

é a susceptibilidade elétrica complexa e que depende da frequência. Sendo assim, o campo deslocamento elétrico complexo é dado por

onde também definimos a constante dielétrica complexa,

Sendo assim, o campo deslocamento elétrico real não é, em geral, proporcional ao campo elétrico real, pois

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Essa análise tem sido feita para ondas monocromáticas, mas vale também para um pacote de ondas com uma distribuição finita de frequências, que passamos a considerar a seguir.

Podemos pensar, no caso geral, que é um pacote de ondas monocromáticas e escrever

Ora, é um campo monocromático, de frequência , e, portanto, podemos escrever

para um campo elétrico complexo monocromático dado por

que, integrado sobre , resulta no campo elétrico real:

Logo, para um meio dispersivo, podemos escrever

Da transformada de Fourier inversa para o campo elétrico real acima, temos

Com isso,

isto é,

onde definimos

Com a substituição de variável definida por

podemos também escrever

Fica claro, assim, que o campo deslocamento elétrico não é proporcional ao campo elétrico no mesmo instante de tempo, pois recebe contribuições do campo elétrico em outros tempos, isto é, a relação acima, entre e , não é local no tempo.

Usando o modelo harmônico de Drude-Lorentz, a dispersão em meios materiais é caracterizada por uma susceptibilidade elétrica complexa dada por

onde é o número de elétrons do tipo por molécula, é o número de moléculas por unidade de volume, é a carga eletrônica, é a massa do elétron, é o coeficiente de dissipação, é a frequência natural de oscilação dos elétrons do tipo e é a frequência da onda eletromagnética incidente. Seguindo o livro de J. D. Jackson, vamos utilizar o fato de que pode ser aproximada por

se . Nesse caso,

onde é a frequência de plasma do material. Essa integral pode ser calculada se usarmos o Teorema dos Resíduos. Para isso, consideremos a integral no plano complexo:

Os polos dessa integral ocorrem quando

isto é,

ou seja,

Mesmo quando

se 0, ambos os polos localizam-se no semi-plano complexo com , supondo, como sempre, que . Portanto, para podemos tomar o contorno no semi-plano complexo superior e obter

ou seja,

e, portanto,

Já para o contorno deve ser fechado no semi-plano complexo inferior e, nesse caso, o Teorema dos Resíduos dá

Assim,

Logo, só não é zero para e, portanto, podemos escrever

mostrando que o campo deslocamento elétrico depende apenas dos valores do campo elétrico anteriores ao tempo presente, de acordo com o princípio de causalidade. A relação

pode ser tomada como sendo válida apenas porque o princípio de causalidade é válido, independentemente do particular modelo de susceptibilidade elétrica que utilizarmos. Assim, mesmo sem realmente conhecermos , sabemos que, por causalidade, a relação entre e deve ser dada como acima. Além disso,

e, invertendo, podemos escrever

isto é,

e, como

segue que

independentemente da escolha do modelo; apenas o princípio de causalidade está presente nessa expressão para a susceptibilidade elétrica.

Vamos agora tomar a continuação analítica da susceptibilidade e escrever, para complexo,

Como e são reais,

implicando que

Portanto,

ou seja,

Como é uma função analítica, segue que será analítica no semi-plano complexo superior se for finita para todo . No entanto, é necessário que

para que também seja analítica sobre o eixo real. Isso, de fato, é verdade para dielétricos, mas não é verdade para condutores, para os quais quando . Assim, para dielétricos, sem condutividade alguma, é analítica no semi-plano complexo superior e sobre o eixo real. Então, do Teorema de Cauchy decorre que

se for um contorno que contenha o eixo real e feche-se no semi-plano complexo superior. Também é importante notarmos que

onde

Notemos que, como vimos, no modelo ilustrativo acima,

Também notamos que

pois, para dielétricos,

Por continuidade de , devemos ter

e, portanto,

implicando em

Podemos repetir esse procedimento ad infinitum e obter

ou seja,

Esse resultado mostra que

Então, a continuação analítica da susceptibilidade elétrica, isto é,

também fornece

Desse resultado, segue que

quando o raio do contorno no semi-plano complexo superior tender a infinito e, portanto,

Seja uma quantidade real, positiva e infinitesimal. Então, tomando

podemos escrever

e, portanto,

uma maneira bastante útil de reescrever esse limite:

Logo,

isto é,

Tomando as partes real e imaginária dessa equação resulta nas relações de Kramers-Kronig:

e



😎

Música desta postagem: L’hirondelle (The Swallow) de Friedrich Burgmuller, por Nicole Muller

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5 respostas para “Relações de Kramers-Kronig ou relações de dispersão”

  1. Boa madrugada para todo mundo!

    Achei melhor avisar que, no cálculo de , quando foi posto o para dentro da integral, ficou faltando elevar o 2 ao quadrado. Assim, o resultado para deveria ser:

    .

    Qualquer dúvida, é só olhar no Jackson, pág. 307 (2a. edição), onde ele dá o valor de .

  2. No comentário acima, onde está escrito “dentro da integral”, leia-se “dentro da raiz”.

    Eu não devia tentar posta comentários a essa hora…

  3. Professor, mais ou menos no meio da postagem você escreveu:
    “Já para o contorno deve ser fechado no semi-plano complexo superior e, nesse caso, o Teorema dos Resíduos dá”

    Você não quis na verdade dizer “semi-plano complexo inferior”? Já que os pólos da função integrada estão todos no plano inferior, e o cálculo subsequente mostra que eles foram inclusos no contorno de integração.

  4. Olá Guilherme,
    Grato deveras por avisar do meu erro. Já está corrigido, tanto no site como no PDF. Valeu!

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