Relações de Kramers-Kronig ou relações de dispersão

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Da análise do modelo de Drude-Lorentz segue que a polarização em um meio dispersivo não é proporcional ao campo elétrico. No entanto, definimos a polarização complexa, , que é proporcional ao campo elétrico complexo, isto é,

onde

é a susceptibilidade elétrica complexa e que depende da frequência. Sendo assim, o campo deslocamento elétrico complexo é dado por

onde também definimos a constante dielétrica complexa,

Sendo assim, o campo deslocamento elétrico real não é, em geral, proporcional ao campo elétrico real, pois

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Essa análise tem sido feita para ondas monocromáticas, mas vale também para um pacote de ondas com uma distribuição finita de frequências, que passamos a considerar a seguir.

Podemos pensar, no caso geral, que é um pacote de ondas monocromáticas e escrever

Ora, é um campo monocromático, de frequência , e, portanto, podemos escrever

para um campo elétrico complexo monocromático dado por

que, integrado sobre , resulta no campo elétrico real:

Logo, para um meio dispersivo, podemos escrever

Da transformada de Fourier inversa para o campo elétrico real acima, temos

Com isso,

isto é,

onde definimos

Com a substituição de variável definida por

podemos também escrever

Fica claro, assim, que o campo deslocamento elétrico não é proporcional ao campo elétrico no mesmo instante de tempo, pois recebe contribuições do campo elétrico em outros tempos, isto é, a relação acima, entre e , não é local no tempo.

Usando o modelo harmônico de Drude-Lorentz, a dispersão em meios materiais é caracterizada por uma susceptibilidade elétrica complexa dada por

onde é o número de elétrons do tipo por molécula, é o número de moléculas por unidade de volume, é a carga eletrônica, é a massa do elétron, é o coeficiente de dissipação, é a frequência natural de oscilação dos elétrons do tipo e é a frequência da onda eletromagnética incidente. Seguindo o livro de J. D. Jackson, vamos utilizar o fato de que pode ser aproximada por

se . Nesse caso,

onde é a frequência de plasma do material. Essa integral pode ser calculada se usarmos o Teorema dos Resíduos. Para isso, consideremos a integral no plano complexo:

Os polos dessa integral ocorrem quando

isto é,

ou seja,

Mesmo quando

se 0, ambos os polos localizam-se no semi-plano complexo com , supondo, como sempre, que . Portanto, para podemos tomar o contorno no semi-plano complexo superior e obter

ou seja,

e, portanto,

Já para o contorno deve ser fechado no semi-plano complexo inferior e, nesse caso, o Teorema dos Resíduos dá

Assim,

Logo, só não é zero para e, portanto, podemos escrever

mostrando que o campo deslocamento elétrico depende apenas dos valores do campo elétrico anteriores ao tempo presente, de acordo com o princípio de causalidade. A relação

pode ser tomada como sendo válida apenas porque o princípio de causalidade é válido, independentemente do particular modelo de susceptibilidade elétrica que utilizarmos. Assim, mesmo sem realmente conhecermos , sabemos que, por causalidade, a relação entre e deve ser dada como acima. Além disso,

e, invertendo, podemos escrever

isto é,

e, como

segue que

independentemente da escolha do modelo; apenas o princípio de causalidade está presente nessa expressão para a susceptibilidade elétrica.

Vamos agora tomar a continuação analítica da susceptibilidade e escrever, para complexo,

Como e são reais,

implicando que

Portanto,

ou seja,

Como é uma função analítica, segue que será analítica no semi-plano complexo superior se for finita para todo . No entanto, é necessário que

para que também seja analítica sobre o eixo real. Isso, de fato, é verdade para dielétricos, mas não é verdade para condutores, para os quais quando . Assim, para dielétricos, sem condutividade alguma, é analítica no semi-plano complexo superior e sobre o eixo real. Então, do Teorema de Cauchy decorre que

se for um contorno que contenha o eixo real e feche-se no semi-plano complexo superior. Também é importante notarmos que

onde

Notemos que, como vimos, no modelo ilustrativo acima,

Também notamos que

pois, para dielétricos,

Por continuidade de , devemos ter

e, portanto,

implicando em

Podemos repetir esse procedimento ad infinitum e obter

ou seja,

Esse resultado mostra que

Então, a continuação analítica da susceptibilidade elétrica, isto é,

também fornece

Desse resultado, segue que

quando o raio do contorno no semi-plano complexo superior tender a infinito e, portanto,

Seja uma quantidade real, positiva e infinitesimal. Então, tomando

podemos escrever

e, portanto,

uma maneira bastante útil de reescrever esse limite:

Logo,

isto é,

Tomando as partes real e imaginária dessa equação resulta nas relações de Kramers-Kronig:

e



😎

Música desta postagem: L’hirondelle (The Swallow) de Friedrich Burgmuller, por Nicole Muller

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5 Comments for Relações de Kramers-Kronig ou relações de dispersão

  1. Leonardo Andreta de Castro said,

    abril 13, 2010 @ 0:37

    Boa madrugada para todo mundo!

    Achei melhor avisar que, no cálculo de , quando foi posto o para dentro da integral, ficou faltando elevar o 2 ao quadrado. Assim, o resultado para deveria ser:

    .

    Qualquer dúvida, é só olhar no Jackson, pág. 307 (2a. edição), onde ele dá o valor de .

  2. Leonardo Andreta de Castro said,

    abril 13, 2010 @ 0:40

    No comentário acima, onde está escrito “dentro da integral”, leia-se “dentro da raiz”.

    Eu não devia tentar posta comentários a essa hora…

  3. reginaldo said,

    abril 13, 2010 @ 10:58

    Obrigado, Leonardo,
    Já corrigi o erro.

  4. Guilherme Tomishiyo said,

    maio 28, 2015 @ 13:09

    Professor, mais ou menos no meio da postagem você escreveu:
    “Já para o contorno deve ser fechado no semi-plano complexo superior e, nesse caso, o Teorema dos Resíduos dá”

    Você não quis na verdade dizer “semi-plano complexo inferior”? Já que os pólos da função integrada estão todos no plano inferior, e o cálculo subsequente mostra que eles foram inclusos no contorno de integração.

  5. reginaldo said,

    maio 30, 2015 @ 14:56

    Olá Guilherme,
    Grato deveras por avisar do meu erro. Já está corrigido, tanto no site como no PDF. Valeu!

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