Reflexão e refração na interface entre dois meios não condutores

Nesta postagem vamos começar com a definição de índice de refração de um meio como o quociente entre as magnitudes da velocidade da luz no vácuo e da velocidade da luz no meio. Depois, vamos considerar a reflexão e a transmissão de uma onda plana que incide normalmente à interface entre dois meios dielétricos lineares, homogêneos e isotrópicos. Para esse caso particular, vamos definir os coeficientes de Fresnel, a reflectância e a transmitância e provar que a soma destas duas quantidades dá um.

Índice de refração de meios dielétricos

Para um meio dielétrico linear, homogêneo e isotrópico, o índice de refração é definido como a razão entre a velocidade da luz no vácuo, , e a velocidade da luz no meio, , onde

e

Assim, o índice de refração é dado por

Nesse caso, também temos

Incidência normal à interface plana entre dois meios dielétricos

Consideremos dois meios dielétricos com índices de refração e , ambos lineares, isotrópicos e homogêneos. Tomemos o plano como sendo a interface plana entre esses dois meios e tomemos o eixo com o sentido que vai do meio ao meio . Um pacote de ondas vindo do meio , em direção à interface, é refletido e refratado ao chegar à interface. Assim, cada frequência no pacote de ondas está relacionada com duas ondas planas superpostas no meio , correspondentes à onda incidente e à onda refletida, e com uma onda plana no meio , correspondente à onda refratada ou transmitida. Consideremos também que a onda incidente é conhecida e que tem polarização linear. Como estamos considerando incidência normal, tomemos o eixo ao longo da direção de polarização do campo elétrico incidente. Assim, podemos escrever o campo elétrico da onda incidente como

onde

e, para simplificar, escolhemos a amplitude real. No mesmo meio , deve haver também a onda plana refletida que, ao contrário da onda incidente, se propaga no sentido negativo do eixo , com campo elétrico

Já na região do meio () temos a onda refratada ou transmitida com campo elétrico dado por

onde

Notemos que essas ondas propostas são escolhidas com a mesma frequência, pois, conforme explicado abaixo, não seria possível aplicar as condições de contorno se as frequências fossem diferentes. Também como consequência das condições de contorno na interface, se a onda incidente é plana ao longo de , então só é possível termos ondas refletida e refratada também polarizadas ao longo de . Utilizando a Lei da Indução de Faraday, podemos escrever

e

Apliquemos, agora, as condições de contorno na interface entre os meios dielétricos na ausência de cargas ou correntes livres. A componente normal do campo deslocamento elétrico é contínua e, portanto, temos

Essa condição está satisfeita uma vez que nossos campos elétricos estão todos ao longo da direção . De forma similar, a continuidade da componente normal do campo indução magnética também está garantida, pois

A continuidade da componente tangencial do campo elétrico dá

ou seja,

o que resulta em

De forma análoga, a continuidade da componente tangencial do campo intensidade magnética dá

ou seja,

o que implica em outra equação para as amplitudes do campo elétrico:

Como, por hipótese, a amplitude é conhecida, podemos resolver as Eqs. (1) e (2) para obter

No caso em que os meios dielétricos não são magnéticos,

e obtemos:

Notemos que a onda transmitida está em fase com a onda incidente, mas a onda refletida adquire uma fase de quando o índice de refração do meio é maior do que o do meio , isto é, quando

Coeficientes de Fresnel

O coeficiente de Fresnel para reflexão é dado por

Já o coeficiente de Fresnel para transmissão é dado por

No caso particular acima, isto é, para incidência normal, temos

Reflectância e transmitância

Os vetores de Poynting médios para as diversas ondas do exemplo acima são dados por

e

Na interface do exemplo acima, cuja normal é , a reflectância e a transmitância são definidas, respectivamente, por

e

ou seja,

e

Assim, verificamos, neste caso particular, que a reflectância somada à transmitância é igual à unidade:

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

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