Reflexão e refração na interface entre dois dielétricos no caso da incidência oblíqua

Em uma postagem anterior, Reflexão e refração na interface entre dois meios não condutores, consideramos o caso em que a onda eletromagnética plana incidente é normal à interface de separação entre dois meios dielétricos lineares, homogêneos e isotrópicos. Aqui vamos analisar o comportamento da reflexão e da refração no caso em que a incidência é oblíqua à interface. Também vamos definir o ângulo crítico de incidência, para a circunstância em que não há transmissão, sendo a onda incidente totalmente refletida, e vamos definir o ângulo de Brewster, para a circunstância de incidência em que há polarização por reflexão.

Campo elétrico paralelo ao plano de incidência

Neste caso, escolhemos o sistema de coordenadas de forma que a interface entre os dois meios dielétricos coincida com o plano . Também indexamos os meios dielétricos de modo que o meio tenha e o meio tenha . Assim, a normal à interface é o versor . O plano de incidência é formado pelo vetor de onda incidente, , e pela normal à interface, . Escolhemos o plano de incidência como o plano . Como a incidência não é normal à interface, temos

onde é o módulo do vetor e é o ângulo de incidência, isto é, o ângulo entre o vetor de onda, , e a normal à interface, Escolhemos polarização plana e o campo elétrico incidente paralelo ao plano de incidência, ou seja,

Por isotropia e homogeneidade dos meios dielétricos, as ondas refletida e refratada têm polarizações planas também paralelas ao plano de incidência e podemos escrever

para a onda refletida, com

e

para a onda refratada, com

Notemos que já escolhemos os campos elétricos de modo a serem ortogonais aos respectivos vetores de onda. Os ângulos e são, respectivamente, os ângulos de reflexão e refração.

Utilizando a lei da indução de Faraday, temos

Analogamente,

e

Na ausência de cargas e correntes livres, devemos ter

ou seja,

para todo valor de . Pela independência linear de exponenciais com argumentos distintos, concluímos que

e, portanto,

A Eq. (1) dá a lei de reflexão, isto é,

A Eq. (2) dá a lei de refração de Snell & Descartes, ou seja,

Como a componente tangente à interface do campo intensidade magnética é contínua no presente caso, obtemos

Para simplificar, vamos supor que os dielétricos sejam tais que . Assim,

ou seja,

Usando a Eq. (2), vemos que as Eqs. (3) e (4) são linearmente dependentes. Como a continuidade da componente normal do campo indução magnética está automaticamente satisfeita, resta-nos utilizar a continuidade da componente tangencial do campo elétrico:

Essa equação nos dá

Resolvendo o sistema de Eqs. (4) e (5), obtemos

Os coeficientes de Fresnel para esse caso são definidos como

para reflexão, e

para transmissão.

Campo elétrico perpendicular ao plano de incidência

Nesse caso, tomamos

como no caso anterior, mas escolhemos os campos elétricos polarizados ao longo do eixo , isto é,

onde já estamos adiantando que vale a lei de reflexão. Assim, usando a lei da indução de Faraday, temos

e

Como a componente tangencial do campo elétrico é contínua na interface, temos

ou seja,

Também impomos que a componente tangencial do campo intensidade magnética é contínua, obtendo

isto é,

Agora resolvemos as Eqs. (6) e (7) e concluímos que

e

Os coeficientes de Fresnel para esse caso são definidos como

para reflexão, e

para transmissão. O subescrito “s” nesses coeficientes vem do alemão, “senkrecht”, que quer dizer “perpendicular”.

O ângulo crítico e o ângulo de Brewster

Ângulo crítico

Agora que temos os resultados acima, podemos analisar o que acontece quando . Nesse caso, da lei de Snell & Descartes, temos

Como temos liberdade de escolher a direção de propagação da onda incidente, podemos tomar , onde é o chamado ângulo crítico, definido pela expressão

ou seja,

Como estamos supondo , no caso em que temos

ou seja,

Como

segue que a solução para a onda transmitida adquire uma parte imaginária no vetor de onda, ao longo da direção . Isso implica em uma onda transmitida que se propaga apenas ao longo do eixo , mas evanesce ao longo do eixo .

Ângulo de Brewster

Considerando , podemos perguntar: quando a luz é refletida de uma superfície, uma de suas componentes de polarização pode ser suprimida para algum ângulo de incidência? Para responder a essa pergunta, primeiro consideramos impor que

ou seja,

Assim,

e, portanto,

Usando a lei de Snell & Descartes, obtemos

Como estamos supondo , vemos que a reflexão da onda com polarização do campo elétrico perpendicular ao plano de incidência não pode ser eliminada com a escolha de um ângulo de incidência especial.

Já para a polarização do campo elétrico paralela ao plano de incidência, vemos que quando a incidência ocorre com o ângulo de Brewster, definido por

temos

Assim, a incidência de luz não polarizada, fazendo o ângulo de Brewster com a normal à interface entre os meios dielétricos, resulta em luz refletida polarizada com o campo elétrico perpendicular ao plano de incidência.

😎

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

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