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Reflexão e refração de ondas eletromagnéticas em interfaces planas entre dielétricos | Nerdyard

Reflexão e refração de ondas eletromagnéticas em interfaces planas entre dielétricos

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Para ilustrar a utilização das condições de contorno para os campos, tratemos a reflexão e a refração de ondas eletromagnéticas planas por interfaces entre dielétricos lineares, homogêneos e isotrópicos. Para não trivializar a discussão, vamos considerar que o vetor de onda incidente não seja paralelo à interface entre os dois meios dielétricos. Há dois casos linearmente independentes que consideramos abaixo.

Campo elétrico paralelo ao plano de incidência

Nesse caso, escolhemos o sistema de coordenadas de forma que a interface entre os dois meios dielétricos coincida com o plano { xy}. Também indexamos os meios dielétricos de modo que o meio { 1} tenha { z<0} e o meio { 2} tenha { z>0}. Assim, a normal à interface é o versor { \mathbf{\hat{z}}}. O plano de incidência é formado pelo vetor de onda incidente, { \mathbf{k}_{1}}, e pela normal à interface, { \mathbf{\hat{z}}}. Escolhemos o plano de incidência como o plano { xz}. Como a incidência não é normal à interface, temos

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \mathbf{k}_{1} & = & \displaystyle \mathbf{\hat{z}}k_{1}\cos\theta_{1}+\mathbf{\hat{x}}k_{1}{\rm sen}\theta_{1},\end{array}

onde { k_{1}} é o módulo do vetor { \mathbf{k}_{1}} e { \theta_{1}} é o ângulo de incidência, isto é, o ângulo entre o vetor de onda, { \mathbf{k}_{1}}, e a normal à interface,{ \mathbf{\hat{z}}}. Escolhemos polarização plana e o campo elétrico incidente paralelo ao plano de incidência, ou seja,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \boldsymbol{\epsilon}_{1} & = & \displaystyle \left(-\mathbf{\hat{z}}\epsilon_{01}{\rm sen}\theta_{1}+\mathbf{\hat{x}}\epsilon_{01}\cos\theta_{1}\right)\exp\left(izk_{1}\cos\theta_{1}+ixk_{1}{\rm sen}\theta_{1}-i\omega t\right).\end{array}

Por isotropia e homogeneidade dos meios dielétricos, as ondas refletida e refratada têm polarizações planas também paralelas ao plano de incidência e podemos escrever

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \boldsymbol{\epsilon}_{1}^{\prime} & = & \displaystyle \left(\mathbf{\hat{z}}\epsilon_{01}^{\prime}{\rm sen}\theta_{1}^{\prime}+\mathbf{\hat{x}}\epsilon_{01}^{\prime}\cos\theta_{1}^{\prime}\right)\exp\left(-izk_{1}\cos\theta_{1}^{\prime}+ixk_{1}{\rm sen}\theta_{1}^{\prime}-i\omega t\right),\end{array}

para a onda refletida, com

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \mathbf{k}_{1}^{\prime} & = & \displaystyle -\mathbf{\hat{z}}k_{1}\cos\theta_{1}^{\prime}+\mathbf{\hat{x}}k_{1}{\rm sen}\theta_{1}^{\prime},\end{array}

e

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \boldsymbol{\epsilon}_{2} & = & \displaystyle \left(-\mathbf{\hat{z}}\epsilon_{02}{\rm sen}\theta_{2}+\mathbf{\hat{x}}\epsilon_{02}\cos\theta_{2}\right)\exp\left(izk_{2}\cos\theta_{2}+ixk_{2}{\rm sen}\theta_{2}-i\omega t\right),\end{array}

para a onda refratada, com

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \mathbf{k}_{2} & = & \displaystyle \mathbf{\hat{z}}k_{2}\cos\theta_{2}+\mathbf{\hat{x}}k_{2}{\rm sen}\theta_{2}.\end{array}

Notemos que já escolhemos os campos elétricos de modo a serem ortogonais aos respectivos vetores de onda. Os ângulos { \theta_{1}^{\prime}} e { \theta_{2}} são, respectivamente, os ângulos de reflexão e refração.

Utilizando a Lei de Indução de Faraday,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\boldsymbol{\epsilon} & = & \displaystyle -\frac{1}{c}\frac{\partial\boldsymbol{\beta}}{\partial t},\end{array}

e a definição de índice de refração, obtemos

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \boldsymbol{\beta}_{1} & = & \displaystyle \frac{c\mathbf{k}_{1}}{\omega}\boldsymbol{\times}\boldsymbol{\epsilon}_{1}\\ & = & \displaystyle n_{1}\epsilon_{01}\left(\mathbf{\hat{z}}\cos\theta_{1}+\mathbf{\hat{x}}{\rm sen}\theta_{1}\right)\boldsymbol{\times}\left(-\mathbf{\hat{z}}{\rm sen}\theta_{1}+\mathbf{\hat{x}}\cos\theta_{1}\right)\exp\left(i\mathbf{k}_{1}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}-i\omega t\right)\\ & = & \displaystyle n_{1}\epsilon_{01}\left(\mathbf{\hat{z}}\boldsymbol{\times}\mathbf{\hat{x}}\cos^{2}\theta_{1}-\mathbf{\hat{x}}\boldsymbol{\times}\mathbf{\hat{z}}{\rm sen}^{2}\theta_{1}\right)\exp\left(i\mathbf{k}_{1}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}-i\omega t\right)\\ & = & \displaystyle \mathbf{\hat{y}}n_{1}\epsilon_{01}\exp\left(i\mathbf{k}_{1}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}-i\omega t\right).\end{array}

Analogamente,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \boldsymbol{\beta}_{1}^{\prime} & = & \displaystyle n_{1}\epsilon_{01}^{\prime}\left(-\mathbf{\hat{z}}\boldsymbol{\times}\mathbf{\hat{x}}\cos\theta_{1}^{\prime}\cos\theta_{1}^{\prime}+\mathbf{\hat{x}}\boldsymbol{\times}\mathbf{\hat{z}}{\rm sen}\theta_{1}^{\prime}{\rm sen}\theta_{1}^{\prime}\right)\exp\left(i\mathbf{k}_{1}^{\prime}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}-i\omega t\right)\\ & = & \displaystyle -\mathbf{\hat{y}}n_{1}\epsilon_{01}^{\prime}\exp\left(i\mathbf{k}_{1}^{\prime}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}-i\omega t\right)\end{array}

e

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \boldsymbol{\beta}_{2} & = & \displaystyle \mathbf{\hat{y}}n_{2}\epsilon_{02}\exp\left(i\mathbf{k}_{2}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}-i\omega t\right).\end{array}

Na ausência de cargas e correntes livres, devemos ter

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \left.\mathbf{\hat{z}}\boldsymbol{\cdot}\left(\varepsilon_{2}\boldsymbol{\epsilon}_{2}-\varepsilon_{1}\boldsymbol{\epsilon}_{1}-\varepsilon_{1}\boldsymbol{\epsilon}_{1}^{\prime}\right)\right|_{z=0} & = & \displaystyle 0,\end{array}

ou seja,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  0 & = & \displaystyle -\varepsilon_{2}\epsilon_{02}{\rm sen}\theta_{2}\exp\left(ixk_{2}{\rm sen}\theta_{2}\right)+\varepsilon_{1}\epsilon_{01}{\rm sen}\theta_{1}\exp\left(ixk_{1}{\rm sen}\theta_{1}\right)\\ & - & \displaystyle \varepsilon_{1}\epsilon_{01}^{\prime}{\rm sen}\theta_{1}^{\prime}\exp\left(ixk_{1}{\rm sen}\theta_{1}^{\prime}\right)\end{array}

para todo valor de { x}. Pela independência linear de exponenciais com argumentos distintos, concluímos que

\begin{array}{rcl} \displaystyle  k_{1}{\rm sen}\theta_{1}^{\prime} & = & \displaystyle k_{1}{\rm sen}\theta_{1},\end{array} \begin{array}{rcl} \displaystyle  k_{2}{\rm sen}\theta_{2} & = & \displaystyle k_{1}{\rm sen}\theta_{1}\end{array}

e, portanto,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  -\varepsilon_{2}\epsilon_{02}{\rm sen}\theta_{2}+\varepsilon_{1}\epsilon_{01}{\rm sen}\theta_{1}-\varepsilon_{1}\epsilon_{01}^{\prime}{\rm sen}\theta_{1} & = & \displaystyle 0.\end{array}

A equação

\begin{array}{rcl} \displaystyle  k_{1}{\rm sen}\theta_{1}^{\prime} & = & \displaystyle k_{1}{\rm sen}\theta_{1}\end{array}

dá a lei de reflexão, isto é,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \theta_{1}^{\prime} & = & \displaystyle \theta_{1}.\end{array}

A equação

\begin{array}{rcl} \displaystyle  k_{2}{\rm sen}\theta_{2} & = & \displaystyle k_{1}{\rm sen}\theta_{1}\end{array}

dá a Lei de Refração de Snell-Descartes, ou seja,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  n_{2}{\rm sen}\theta_{2} & = & \displaystyle n_{1}{\rm sen}\theta_{1}.\end{array}

Como a componente tangente à interface do campo intensidade magnética é contínua no presente caso, obtemos

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \left.\mathbf{\hat{z}}\boldsymbol{\times}\left(\frac{1}{\mu_{2}}\boldsymbol{\beta}_{2}-\frac{1}{\mu_{1}}\boldsymbol{\beta}_{1}-\frac{1}{\mu_{1}}\boldsymbol{\beta}_{1}^{\prime}\right)\right|_{z=0} & = & \displaystyle \mathbf{0}.\end{array}

Para simplificar, vamos supor que os dielétricos sejam tais que { \mu_{1}=\mu_{2}=1}, isto é, que os dielétricos sejam materiais não magnéticos. Assim,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \mathbf{\hat{z}}\boldsymbol{\times}\mathbf{\hat{y}}\left(n_{2}\epsilon_{02}-n_{1}\epsilon_{01}+n_{1}\epsilon_{01}^{\prime}\right) & = & \displaystyle \mathbf{0},\end{array}

ou seja,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  n_{2}\epsilon_{02}-n_{1}\epsilon_{01}+n_{1}\epsilon_{01}^{\prime} & = & \displaystyle 0.\end{array}

Usando a Lei de Snell-Descartes,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  k_{2}{\rm sen}\theta_{2} & = & \displaystyle k_{1}{\rm sen}\theta_{1},\end{array}

vemos que as equações

\begin{array}{rcl} \displaystyle  -\varepsilon_{2}\epsilon_{02}{\rm sen}\theta_{2}+\varepsilon_{1}\epsilon_{01}{\rm sen}\theta_{1}-\varepsilon_{1}\epsilon_{01}^{\prime}{\rm sen}\theta_{1} & = & \displaystyle 0\end{array}

e

\begin{array}{rcl} \displaystyle  n_{2}\epsilon_{02}-n_{1}\epsilon_{01}+n_{1}\epsilon_{01}^{\prime} & = & \displaystyle 0\end{array}

são linearmente dependentes. Como a continuidade da componente normal do campo indução magnética está automaticamente satisfeita, resta-nos utilizar a continuidade da componente tangencial do campo elétrico:

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \left.\mathbf{\hat{z}}\boldsymbol{\times}\left(\boldsymbol{\epsilon}_{2}-\boldsymbol{\epsilon}_{1}-\boldsymbol{\epsilon}_{1}^{\prime}\right)\right|_{z=0} & = & \displaystyle \mathbf{0}.\end{array}

Essa equação nos dá

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \epsilon_{02}\cos\theta_{2}-\epsilon_{01}\cos\theta_{1}-\epsilon_{01}^{\prime}\cos\theta_{1} & = & \displaystyle 0.\end{array}

Resolvendo o sistema de equações

\begin{array}{rcl} \displaystyle  n_{2}\epsilon_{02}-n_{1}\epsilon_{01}+n_{1}\epsilon_{01}^{\prime} & = & \displaystyle 0\end{array}

e

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \epsilon_{02}\cos\theta_{2}-\epsilon_{01}\cos\theta_{1}-\epsilon_{01}^{\prime}\cos\theta_{1} & = & \displaystyle 0,\end{array}

obtemos

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \epsilon_{01}^{\prime} & = & \displaystyle \frac{n_{1}\cos\theta_{2}-n_{2}\cos\theta_{1}}{n_{2}\cos\theta_{1}+n_{1}\cos\theta_{2}}\epsilon_{01}\end{array}

e

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \epsilon_{02} & = & \displaystyle \frac{2n_{1}\cos\theta_{1}}{n_{2}\cos\theta_{1}+n_{1}\cos\theta_{2}}\epsilon_{01}.\end{array}

Os coeficientes de Fresnel para esse caso são definidos como

\begin{array}{rcl} \displaystyle  r_{12p} & = & \displaystyle \frac{\epsilon_{01}^{\prime}}{\epsilon_{01}}\\ & = & \displaystyle \frac{n_{1}\cos\theta_{2}-n_{2}\cos\theta_{1}}{n_{2}\cos\theta_{1}+n_{1}\cos\theta_{2}},\end{array}

para reflexão, e

\begin{array}{rcl} \displaystyle  t_{12p} & = & \displaystyle \frac{\epsilon_{02}}{\epsilon_{01}}\\ & = & \displaystyle \frac{2n_{1}\cos\theta_{1}}{n_{2}\cos\theta_{1}+n_{1}\cos\theta_{2}},\end{array}

para transmissão.

Campo elétrico perpendicular ao plano de incidência

Nesse caso, tomamos

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \mathbf{k}_{1} & = & \displaystyle \mathbf{\hat{z}}k_{1}\cos\theta_{1}+\mathbf{\hat{x}}k_{1}{\rm sen}\theta_{1},\\ \mathbf{k}_{1}^{\prime} & = & \displaystyle -\mathbf{\hat{z}}k_{1}\cos\theta_{1}+\mathbf{\hat{x}}k_{1}{\rm sen}\theta_{1},\\ \mathbf{k}_{2} & = & \displaystyle \mathbf{\hat{z}}k_{2}\cos\theta_{2}+\mathbf{\hat{x}}k_{2}{\rm sen}\theta_{2},\end{array}

como no caso anterior, mas escolhemos os campos elétricos polarizados ao longo do eixo { y}, isto é,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \boldsymbol{\epsilon}_{1} & = & \displaystyle \mathbf{\hat{y}}\epsilon_{01}\exp\left(izk_{1}\cos\theta_{1}+ixk_{1}{\rm sen}\theta_{1}-i\omega t\right),\\ \boldsymbol{\epsilon}_{1}^{\prime} & = & \displaystyle \mathbf{\hat{y}}\epsilon_{01}^{\prime}\exp\left(-izk_{1}\cos\theta_{1}+ixk_{1}{\rm sen}\theta_{1}-i\omega t\right),\\ \boldsymbol{\epsilon}_{2} & = & \displaystyle \mathbf{\hat{y}}\epsilon_{02}\exp\left(izk_{2}\cos\theta_{2}+ixk_{2}{\rm sen}\theta_{2}-i\omega t\right),\end{array}

onde já estamos adiantando que vale a lei de reflexão. Assim, usando a Lei de Indução de Faraday,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\boldsymbol{\epsilon} & = & \displaystyle -\frac{1}{c}\frac{\partial\boldsymbol{\beta}}{\partial t},\end{array}

obtemos

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \boldsymbol{\beta}_{1} & = & \displaystyle \frac{c\mathbf{k}_{1}}{\omega}\boldsymbol{\times}\boldsymbol{\epsilon}_{1}\\ & = & \displaystyle n_{1}\left(\mathbf{\hat{z}}\cos\theta_{1}+\mathbf{\hat{x}}{\rm sen}\theta_{1}\right)\boldsymbol{\times}\mathbf{\hat{y}}\epsilon_{01}\exp\left(i\mathbf{k}_{1}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}-i\omega t\right)\\ & = & \displaystyle n_{1}\left(-\mathbf{\hat{x}}\cos\theta_{1}+\mathbf{\hat{z}}{\rm sen}\theta_{1}\right)\epsilon_{01}\exp\left(i\mathbf{k}_{1}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}-i\omega t\right),\end{array} \begin{array}{rcl} \displaystyle  \boldsymbol{\beta}_{1}^{\prime} & = & \displaystyle n_{1}\left(\mathbf{\hat{x}}\cos\theta_{1}+\mathbf{\hat{z}}{\rm sen}\theta_{1}\right)\epsilon_{01}^{\prime}\exp\left(i\mathbf{k}_{1}^{\prime}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}-i\omega t\right)\end{array}

e

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \boldsymbol{\beta}_{2} & = & \displaystyle n_{1}\left(-\mathbf{\hat{x}}\cos\theta_{2}+\mathbf{\hat{z}}{\rm sen}\theta_{2}\right)\epsilon_{02}\exp\left(i\mathbf{k}_{2}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}-i\omega t\right).\end{array}

Como a componente tangencial do campo elétrico é contínua na interface, temos

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \left.\mathbf{\hat{z}}\boldsymbol{\times}\left(\boldsymbol{\epsilon}_{2}-\boldsymbol{\epsilon}_{1}-\boldsymbol{\epsilon}_{1}^{\prime}\right)\right|_{z=0} & = & \displaystyle \mathbf{0},\end{array}

ou seja,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \epsilon_{02}-\epsilon_{01}-\epsilon_{01}^{\prime} & = & \displaystyle 0.\end{array}

Também impomos que a componente tangencial do campo intensidade magnética seja contínua, obtendo

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \left.\mathbf{\hat{z}}\boldsymbol{\times}\left(\frac{1}{\mu_{2}}\boldsymbol{\beta}_{2}-\frac{1}{\mu_{1}}\boldsymbol{\beta}_{1}-\frac{1}{\mu_{1}}\boldsymbol{\beta}_{1}^{\prime}\right)\right|_{z=0} & = & \displaystyle \mathbf{0},\end{array}

isto é, supondo meios não magnéticos, ou seja, { \mu_{1}=\mu_{2}=1}, vem

\begin{array}{rcl} \displaystyle  -n_{2}\cos\theta_{2}\epsilon_{02}+n_{1}\cos\theta_{1}\epsilon_{01}-n_{1}\cos\theta_{1}\epsilon_{01}^{\prime} & = & \displaystyle 0.\end{array}

Agora resolvemos as equações

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \epsilon_{02}-\epsilon_{01}-\epsilon_{01}^{\prime} & = & \displaystyle 0\end{array}

e

\begin{array}{rcl} \displaystyle  -n_{2}\cos\theta_{2}\epsilon_{02}+n_{1}\cos\theta_{1}\epsilon_{01}-n_{1}\cos\theta_{1}\epsilon_{01}^{\prime} & = & \displaystyle 0\end{array}

e concluímos que

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \epsilon_{01}^{\prime} & = & \displaystyle \frac{n_{1}\cos\theta_{1}-n_{2}\cos\theta_{2}}{n_{1}\cos\theta_{1}+n_{2}\cos\theta_{2}}\epsilon_{01}\end{array}

e

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \epsilon_{02} & = & \displaystyle \frac{2n_{1}\cos\theta_{1}}{n_{1}\cos\theta_{1}+n_{2}\cos\theta_{2}}\epsilon_{01}.\end{array}

Os coeficientes de Fresnel para esse caso são definidos como

\begin{array}{rcl} \displaystyle  r_{12s} & = & \displaystyle \frac{\epsilon_{01}^{\prime}}{\epsilon_{01}}\\ & = & \displaystyle \frac{n_{1}\cos\theta_{1}-n_{2}\cos\theta_{2}}{n_{1}\cos\theta_{1}+n_{2}\cos\theta_{2}},\end{array}

para reflexão, e

\begin{array}{rcl} \displaystyle  t_{12s} & = & \displaystyle \frac{\epsilon_{02}}{\epsilon_{01}}\\ & = & \displaystyle \frac{2n_{1}\cos\theta_{1}}{n_{1}\cos\theta_{1}+n_{2}\cos\theta_{2}},\end{array}

para transmissão.

:cool:

Música desta postagem: Eighteen Morceaux (Valse Bluette) de Pyotr Ilich Tchaikovsky, por John Robson

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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1 Comentário for Reflexão e refração de ondas eletromagnéticas em interfaces planas entre dielétricos

  1. » Reflexão interna total e polarização por reflexão | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 16, 2010 @ 17:39

    [...] que temos os resultados para os coeficientes de Fresnell no caso da reflexão e transmissão de ondas planas na interface entre d…, podemos analisar o que acontece quando . Nesse caso, da Lei de Snell-Descartes, [...]

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