Problema 4.40 do livro do Symon

O problema do livro do Symon é uma variação do que vimos na postagem Dois osciladores harmônicos acoplados, pois consta de três massas presas a duas molas ao longo de um eixo horizontal, enquanto, naquela postagem, tínhamos duas massas presas a três molas. No entanto, no problema podemos desacoplar o movimento do centro de massa do movimento envolvendo os deslocamentos relativos entre as massas, que são dois: entre a primeira e a segunda massas e entre a segunda e a terceira. Aqui vou ilustrar como podemos começar com uma matriz não simétrica, simetrizá-la e resolver o problema usando a solução para diagonalização dada na postagem Diagonalizando uma matriz dois por dois simétrica.

Segue o enunciado do problema:

prob-4-40.48

fig-4-16

Agora, a resolução:

De acordo com a Fig. 4.16 do livro do Symon, as posições e das respectivas massas e relativas à origem da figura, são dadas por

e

As equações de movimento para as massas e são, respectivamente, dadas por

e

Sustituindo a Eq. (1) na Eq. (4), obtemos

Agora, colocando a Eq. (2) na Eq. (5), ficamos com

Das Eqs. (3) e (6) decorre que

Substituindo a Eq. (9) na Eq. (7), obtemos

isto é,

ou seja,

Usando a Eq. (9) na Eq. (8), ficamos com

ou seja,

isto é,

As Eqs. (10) e (11) formam um conjunto acoplado, descrevendo o movimento interno, como diz o enunciado.

Vamos encontrar a posição do centro de massa:

isto é,

onde, para simplificar a notação, definimos

Podemos agora encontrar a equação de movimento para a posição do centro de massa. Derivando duas vezes a Eq. (12) com relação ao tempo e usando as Eqs. (7) e (8), obtemos

ou seja,

A substituição da Eq. (9) na Eq. (14) fornece

A equação de movimento do centro de massa, de acordo com a Eq. (15), é, simplesmente,

A Eq. (16) poderia ter sido escrita sem termos feito cálculo algum, pois não há forças externas agindo sobre o sistema e, portanto, o centro de massa tem velocidade constante.

Vamos resolver, então, as Eqs. (10) e (11). Essas equações podem ser reescritas em termos matriciais assim:

Para facilitar a notação, definamos:

e

Então, a Eq. (17), com as Eqs. (18) e (19), fica

Note que

Seja, portanto,

onde definimos

Substituindo a Eq. (21) na Eq. (20), obtemos

isto é,

onde já utilizamos as Eqs. (22) e (23). Multiplicando, pela esquerda, ambos os membros da Eq. (24) pela matriz definida na Eq. (23), encontramos

Mas, como é uma matriz constante no tempo, temos

lembrando da Eq. (22). Seja

Então, usando as Eqs. (26) e (27) na Eq. (25), ficamos com

Vamos, agora, trabalhar um pouco na Eq. (27). Fazendo a substituição da Eq. (23) na Eq. (27) e efetuando as duas multiplicações matriciais, obtemos

ou seja,

que é uma matriz simétrica, isto é, é idêntica à sua transposta. Uma matriz simétrica é diagonalizável. Para simplificar a notação, sejam

e

Então, com as Eqs. (30), (31) e (32), podemos reescrever a Eq. (29) assim:

Note que e são números reais negativos, enquanto que é positivo. Para diagonalizar a matriz definida pela Eq. (33), podemos seguir o procedimento apresentado na postagem Diagonalizando uma matriz dois por dois simétrica, obtendo:

e

como os autovetores, e

e

como os respectivos autovalores. Como explicado na postagem Diagonalizando uma matriz dois por dois simétrica, as Eqs. (34) e (35) dão as duas colunas da matriz que diagonaliza a matriz

É evidente que a inversa de é ela mesma, isto é,

como pode ser imediatamente verificado. Logo, a diagonalização da matriz da Eq. (33), fica

onde e são os autovalores dados pelas Eqs. (36) e (37), respectivamente, como você pode verificar através da multiplicação matricial indicada no membro esquerdo da Eq. (40).

Para escrever a resposta do problema, multiplicamos, pela esquerda, ambos os membros da Eq. (28) por , obtendo

onde, por conveniência, definimos

Por causa da Eq. (39), podemos escrever

Porque é independente do tempo, como vemos na Eq. (38), e usando as Eqs. (40) e (43), podemos reescrever a Eq. (41) como

Para poder escrever a solução explícita da Eq. (41b), seja

A substituição da Eq. (44) na Eq. (41b) fornece

cuja solução, obviamente, é dada por

onde e são constantes que devem ser determinadas pelas condições iniciais do problema. Que é menor do que zero é óbvio das Eqs. (30), (31) e (37). Para ver que também é menor do que zero, precisamos usar as Eqs. (18), (19), (30), (31), (32) e (36). Vamos ver então o argumento mostrando que Comece considerando que as massas são positivas. Então,

implica que

isto é,

ou seja,

onde usamos as Eqs. (18) e (19). Podemos multiplicar a última desigualdade por obtendo

Essa desigualdade, com as Eqs. (30), (31) e (32), fica

ou ainda,

implicando que

isto é,

ou, extraindo a raiz quadrada de ambos os membros,

ou seja,

ou ainda,

e, como e são ambos números negativos (cf. Eqs. (30) e (31)), podemos escrever

isto é,

onde usamos a Eq. (36). Com isso, a raiz quadrada de aparecendo na Eq. (46) é real e essa solução faz sentido no âmbito de números reais.

Das Eqs. (44) e (46), obtemos

onde usamos as Eqs. (38) e (39). Usando as Eqs. (22) e (42), podemos escrever

É evidente, da Eq. (23), que a inversa da matriz é, simplesmente,

Substituindo as Eqs. (47) e (49) na Eqs. (48), encontramos

isto é,

Só resta agora determinar as constantes e dadas as condições iniciais e Fazendo na Eq. (50), temos

ou seja,

onde usamos a Eq. (49). Logo, a Eq. (51) fornece

onde usamos a Eq. (38). Por causa da Eq. (43), podemos reescrever a Eq. (52) assim:

Substituindo as Eqs. (23) e (38) na Eq. (53), obtemos

isto é,

Agora, vamos tomar a primeira derivada temporal da Eq. (50):

Fazendo na Eq. (55), ficamos com

onde usamos a Eq. (38). Podemos manipular a Eq. (56) para obter

ou seja,

onde usamos a Eq. (43). Podemos ainda reescrever a Eq. (57) como

Finalmente, usando a Eq. (38) na Eq. (58), vem

isto é,

Veja que a Eq. (50) também pode ser escrita desta forma:

onde usamos as Eqs. (47) e (48). Então, a Eq. (60) pode ser decomposta como

Agora, observe:

usando as Eqs. (34) e (38). Da mesma forma,

com as Eqs. (35) e (38). A substituição das Eqs. (62) e (63) na Eq. (61) fornece

Em suma, a Eq. (64) é a resposta do problema definido pela Eq. (17), com as constantes e dadas pela Eq. (54), as constantes e dadas pela Eq. (59), os autovalores e dados pelas Eqs. (36) e (37), respectivamente, os autovetores e dados pelas Eqs. (34) e (35), respectivamente, e a matriz dada pela Eq. (49). Entre essas equações, aparecem as constantes e definidas, respectivamente, pelas Eqs. (18), (19), (30), (31) e (32).

É interessante notar que os vetores e aparecendo na Eq. (64), são os autovetores da matriz original, da Eq. (17), ou, usando uma notação mais compacta, da Eq. (20), com autovalores e respectivamente. Ver isso é fácil: como vimos depois da Eq. (33), que expressa a matriz simétrica os vetores e são os autovetores da matriz com respectivos autovalores e Tomemos o caso de e por exemplo. Então,

Substituindo a Eq. (27) na Eq. (65) dá

Como a matriz tem inversa, como vimos na Eq. (49), também podemos expressar a Eq. (66) como

isto é,

ou seja,

Das Eqs. (21) e (23) vemos que

que é a matriz original da Eq. (20) que, por sua vez, é a matriz da Eq. (17), com o uso das Eqs. (18) e (19). A substituição da Eq. (68) na Eq. (67) mostra que o vetor coluna é o autovetor, com autovalor da matriz original:

Você pode verificar que uma expressão análoga pode ser obtida para o vetor

😎

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