Problema 4.28 do livro do Symon

Nesta postagem, dou prosseguimento à resolução de problemas de mecânica clássica que iniciei com a postagem Problema 4-27 do livro do Symon. Desta vez, o assunto refere-se ao problema de dois corpos, aplicado para um sistema estelar binário. Introduzi algumas melhorias na videoaula, como um trecho em que desenho a figura explicativa do enunciado, além de uma apresentação inicial do título do vídeo e, no final, uma apresentação dos créditos. Ainda não incorporei acompanhamento musical a esta videoaula, mas pode ser que eu assim o faça nas próximas.

Eis o vídeo:

Segue o enunciado do problema:

enun-4-28-a

enun-4-28-b

 

Agora, a resolução, para acompanhar com o vídeo:

foto-do-problema-4-28Figura 1: Sistema binário.

A primeira parte do problema envolve modificar a Eq. (3.267) do livro do Symon para o caso em que ambas as massas podem se mover. Então, temos um problema de dois corpos. Na postagem Massa reduzida vemos que a força gravitacional entre duas partículas continua sendo a mesma quando ambas as partículas são móveis. A única diferença ocorre quando usamos essa força na segunda lei de Newton, igualando-a com a massa reduzida vezes a aceleração do vetor posição relativa entre as duas partículas. Então, todas as fórmulas do problema decorrem da equação:

Quando a massa está fixa, a massa reduzida fica igual à massa que é cancelada na Eq. (1) e, no lugar do produto o que aparece é só em todas as fórmulas, inclusive na Eq. (3.267) do livro do Symon. Neste problema, no entanto,

de forma que a Eq. (1) fica

isto é,

Em todas as fórmulas, portanto, onde tínhamos apenas para a situação em que só a massa era móvel, agora devemos substituir pela soma Com isso, a nova Eq. (3.267) fica

onde é a distância entre as duas partículas, ou o módulo do vetor posição relativa entre as partículas.

Vamos agora resolver a segunda parte do problema 4.28. Neste problema, as massas são iguais e os dados do problema são a magnitude da velocidade das estrelas, e o período Assim, devemos calcular o valor de e, usando a Eq. (4), encontrar o valor da massa estelar, Ora, da Fig. 1 vemos que

e

Substituindo a Eq. (6) na Eq. (5), obtemos

A Eq. (4), agora usando o valor de da Eq. (7), fica

Fazendo simplificações na Eq. (8), encontramos a massa estelar:

😎

Recomendo também a leitura da postagem a seguir:

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