Pensamento Lateral

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Como um bebê pode cair para fora de um prédio de vinte andares e ainda sobreviver? Simples: o bebê cai do primeiro andar. Pensamento lateral é algo muito importante para ter boas notas em disciplinas de física. Muitas vezes você empaca na resolução de um problema; sente como se não houvesse saída. Nesse momento você precisa pensar de forma diferente, ou seja, usar pensamento lateral. Você trava porque não muda o caminho de seu raciocínio. É necessário, em um caso assim, que você pense fora da caixa.

I try to think out of da box  but I iz stuck inside da box

Sempre vivemos dentro de uma bolha de realidade parcial, reconstruída a partir de percepções que filtramos do imenso fluxo de informação constantemente disponível aos nossos sentidos. Não podemos ter consciência de todos os dados disponíveis, temos que selecioná-los para poder processá-los e interpretá-los. Inevitavelmente, portanto, acabamos ficando com uma imagem incompleta da realidade à nossa volta e passamos a crer que essa ilusão é tudo o que existe. Por isso travamos.

Dizem que Carl Friedrich Gauss (1777-1855), quando criança, resolveu um problema de aritmética muito difícil para sua idade: encontrar a soma de a isto é, encontrar o valor de tal que

A verdade é que não sabemos se foi realmente esse o problema proposto pelo seu professor na época, J.G. Büttner, mas é interessante ver como a lenda mostra um pensamento lateral. Podemos escrever de várias maneiras, alterando a ordem dos termos da soma. Em particular, podemos escrever

e

Somando termo a termo dessas duas equações dá:

isto é,

ou seja,

Essa maneira “diferente” de pensar torna o trabalho de somar os números de a muito menor e menos tedioso do que fazê-lo mecanicamente, da maneira direta, isto é, somando a dando somando com dando somando agora com dando e assim sucessivamente.

Esse mesmo raciocínio pode ser generalizado para a soma desde até um número natural qualquer. Para ver isso, seja

a soma que queremos calcular. Novamente, podemos escrever

e

Somando termo a termo dessas duas equações resulta em:

isto é,

pois há, no segundo membro, termos somados. Logo,

isto é,

Note que quando essa equação reproduz o resultado acima:

Recentemente, em minha pesquisa, também tive que pensar lateralmente para poder escrever um algoritmo. Pense em duas matrizes quadradas, e que não comutam, isto é,

Um exemplo? Tome as matrizes de Pauli:

e

Então, é fácil vermos que

pois também definimos

Analogamente,

Logo, vemos que

Há infinitas matrizes quadradas que não comutam.

Pois bem, tomando duas matrizes quadradas que não comutam, e eu precisava obter uma expansão de

onde é um número natural. Se e comutassem como números, seria fácil, bastaria empregar o teorema binomial de Newton e pronto. Mas quando essas matrizes não comutam, não é tão simples assim. Por exemplo, para temos

que é uma expressão que não pode ser ainda mais simplificada, pois

A necessidade que eu tinha era de escrever o termo geral de uma expansão assim, para um qualquer. Por exemplo, para há quatro termos diferentes na expansão: e Outro exemplo:

isto é,

Nesse caso, para há oito termos diferentes na expansão de e Como representar um termo geral na expansão de

Meu pensamento lateral, embora não possa ser traçado como ocorrido originalmente, pois não tenho consciência ou memória desse processo, pode ser justificado a posteriori como segue. Primeiro note o seguinte:

onde, como é comum, definimos

onde é a matriz identidade. Essa forma de ver a soma de e é bem diferente do que normalmente pensamos. Mas foi essa expressão, em princípio desnecessária, que resolveu o problema, pois dessa expressão também segue que

Logo, veja só o que acontece quando elevamos isso ao quadrado:

já que, como explicado na postagem Paparazzi de somatórios, não podemos utilizar o mesmo índice para os dois somatórios no mesmo termo. Então,

Logo, o termo geral para a expansão de é com e podendo, ambos, assumir independentemente os valores e Note como isso funciona: substituindo esses valores de e obtemos os termos possíveis dessa expansão, isto é, para temos

para temos

para temos

e, finalmente, para temos

Veja como esses são exatamente os termos que tínhamos obtido fazendo a expansão de diretamente! 😎

No caso geral, para qualquer podemos representar a expansão de assim:

O termo geral para a expansão de escreve-se, portanto,

com para Esse foi um truque e tanto que meu pensamento lateral forneceu! Com isso pude escrever o algoritmo que procurava! 😎

Escrevi esta postagem para ilustrar o que pensamento lateral significa em raciocínios matemáticos. Se Gauss fez seu raciocínio assim ou não, é outra questão, pois há muitas versões dessa anedota. Nem mesmo qual o problema aritmético que foi resolvido por Gauss podemos saber com certeza. Para aprender mais sobre essa lendária proeza de Gauss, veja Gauss’s Day of Reckoning, de Brian Hayes. Espero que você tenha apreciado a essência e a importância do pensamento lateral. 😎

Música desta postagem: Nona Sinfonia de Ludwig van Beethoven (Coral) O, Freunde!… – Ausschnitt aus Beethovens An die Freude -Rundfunk-Sinfonieorchester Berlin – Dirigent- Marek Janowski – aufgenommen in Berlin am 30.12.2008

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2 Comments for Pensamento Lateral

  1. ita e melokoton said,

    abril 17, 2011 @ 1:32

    o bebê tem 20 andares.
    o prédio é horizontal.
    o bebê cai pra um prédio de 19,9 andares.
    o bebê é imortal.
    não existe chão.
    é um bebê pássaro.
    o bebê está com muita fome.
    a soma da metade das distâncias não converge.

  2. reginaldo said,

    abril 17, 2011 @ 11:31

    Olá ita e melokoton,
    Grato deveras pelo seu comentário. Adfkjfqipo qnvupaqçjfi, pqpor jpfpqp jqfh pqf, qpeipo peruofa qqqpo oierjkjldfajp fpqpqe!!!!! nã prcisams lr tods as vgais, nã é mesm?

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