Paparazzi de somatórios

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Quando eu era um estudante de álgebra linear, em meu primeiro ano na USP, comecei a cursar essa disciplina com muitas dúvidas a respeito de somatórios. O professor ia ao quadro e trocava a ordem dos somatórios, mudava parênteses de lugar, escolhia de forma aparentemente aleatória os índices de soma e eu ficava boquiaberto. 😯 Parecia que eu era suposto saber todas essas operações e não sabia; teria havido uma lacuna em meu aprendizado prévio? 😕 Receava ficar embaraçado se descobrissem minha falta de familiaridade com somatórios. 😳 O que eu precisava, na época, era de uns paparazzi que esmiuçassem as propriedades íntimas dos somatórios e as divulgassem de uma maneira sensacionalista para todos os olhares, inclusive o meu… 😉 No entanto, tive mesmo é que aprender da forma dura, lendo livros muitas vezes obscuros, que apresentavam o assunto de forma hermética, como segredo de Estado antes do wikileaks. 😥

Hoje, porém, vou apresentar, aqui em Nerdyard, alguns segredos íntimos dos somatórios, de forma que você não vai precisar embaraçar-se perguntando para os esnobes colegas ou professores. A maneira mais fácil para um grupo de pessoas não aprender coisa alguma é quando todos têm receio de expor suas dificuldades perante os demais. Mas, não mais! Os paparazzi de Nerdyard fizeram uma cobertura muito ampla da vida privada dos somatórios e, graças a esses destemidos e desavergonhados paparazzi, vou colocar em evidência tudo aquilo que antes era conhecido apenas aos comparsas mais íntimos dos somatórios, como os professores de álgebra linear. 😉

Seja uma função que depende de uma variável inteira, O símbolo de somatório tem o significado claro:

para inteiro. Veja que se então

A primeira revelação é que podemos trocar o índice do somatório, sem alterar o resultado da soma:

Por causa dessa propriedade o índice do somatório é chamado variável muda. Então temos a liberdade de trocar o índice do somatório e ainda obter o mesmo resultado da soma! 😛 Não é fantástico?

Considere agora uma função de dois índices inteiros: onde e são dois índices inteiros quaisquer. O que quero mostrar aqui é que

isto é, a ordem dos somatórios não altera o resultado das somas sobre os índices. Para mostrar isso, vou tomar para simplificar a notação; depois você pode pensar um pouco e generalizar a demonstração para qualquer inteiro Note que

Também é evidente que

e

Somando essas três equações e substituindo na que tem o somatório duplo dá

Quero mostrar que isso é igual a

Então, calculemos essa quantidade:

Porém,

e

Somando essas três equações membro a membro e igualando à equação anterior a elas, dá

Basta comparar essa equação com a que obtivemos acima para

que podemos concluir que são iguais, provando que a ordem dos somatórios não altera o resultado das somas:

Por causa dessa indiferença de ordem, podemos ignorar os colchetes e escrever

Assim, dá na mesma somar primeiro sobre e depois sobre ou vice-versa. Dá na mesma! ❗

Você pode facilmente convencer-se agora de que, para qualquer inteiro

Por exemplo, no caso em que

onde e são duas funções de um índice apenas cada uma, podemos escrever

Veja que interessante esse exemplo: podemos colocar em evidência na soma sobre do primeiro membro, isto é,

Como cada uma dessas somas pode ser feita de forma independente, podemos escrever

Já no segundo membro de

podemos por toda a soma sobre em evidência e obtemos

como deveria ser. Você está pegando o jeitão da coisa? Não é tão difícil assim! 🙂

Note também que, como observei lá em cima, no caso de um só somatório, as letras especificando os índices podem ser escolhidas arbitrariamente, de modo que, por exemplo, também podemos escrever

Há um alerta, no entanto, quanto a certas ocasiões em que podemos facilmente fazer bobagens com a escolha de índices de somatórios. Considere, por exemplo, o quadrado de

isto é,

Se escrevermos assim e fizermos as manipulações que você acabou de ver acima, poderemos ficar com uma expressão assim:

Mas esse resultado está ERRADO! 😯 Pegue o caso para ilustrar:

Como não há índice algum em podemos colocar esse fator em evidência no somatório e obtemos:

Ora, somar desde até

e, portanto,

Calculemos, para comparar, o quadrado da soma de

Obviamente, portanto,

Então como é que fazemos para elevar um somatório ao quadrado corretamente? 😕 Simples: utilizamos diferentes letras para índices mudos no mesmo termo. 🙂 Assim, por exemplo, ao invés de escrevermos

escreveremos, sempre,

ou quaisquer outras duas letras diferentes no lugar de e no membro direito dessa equação. Só para mostrar que isso funciona, considere o caso de novo:

como deveria ser. 🙂

Espero que, depois dessa grande devassada na vida íntima dos somatórios, você esteja mais à vontade para usar essas propriedades como um velho conhecido desses operadores super populares. Note também que o nome correto é somatório e não somatória. Veja que até o nome verdadeiro os paparazzi de Nerdyard descobriram! 😎

😎

Música desta postagem: Impromptu in G-flat major de Franz Schubert, por Richard Pohl

Recomendo também a leitura da postagem a seguir:

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8 Comments for Paparazzi de somatórios

  1. Rodrigo said,

    dezembro 22, 2010 @ 15:18

    Digo apenas uma coisa, tio reginaldo:você é demais.
    Porêm devo fazer uma resalva:se o pica pau tivesse comunicado a policia, nada disso teria acontecido, como diz meu amigo Daniel.
    Obrigado pela postagem.

  2. reginaldo said,

    dezembro 22, 2010 @ 17:00

    Olá Rodrigo,
    Grato deveras pelo seu comentário. Tenho certeza de que o pica-pau não comunicou coisa alguma à polícia… Mais uma vez, grato deveras! Feliz Natal e Próspero Ano Novo!

  3. José Victor said,

    agosto 25, 2011 @ 6:11

    Caro Professor,

    Todas as suas postagens têm sido, sem favor nenhum, simplesmente extraordinárias, não só pelos temas discutidos, como pela coerência e pela simplicidade no desenvolvimento das deduções matemáticas, e, igualmente, pela didática de apresentação.
    Mas, esta últimapostagens, sobre somatórios e suas nuances, realmente, foi demais. Pois o assunto, além de parecer nebuloso e abusado nos primeiros estudos e, creio, a maioria dos alunos tem esse sentimento, ele está atrelado à Álgebra Linear, seguramente, o tópico matemático de extrema relevância em quase todas as áreas teóricas em que um futuro físico pretenda trabalhar. Sem um conhecimento sólido de álgebra linear não se vai muito longe em física teórica, segundo penso.
    Quando fiz esta cadeira, no curso de engenharia, a minha imaturidade(não devido à idade, que já comecei fora da faixa normal), ela entrou no contexto por ser obrigatória. Não gostei no início, exatamente devido ao fato de o professor entender que nossos pré-requesitos para o mister eram sólidos, que as cadeiras anteriores tinham nos dado o indispensável embasamento e que, portanto, ele poderia “escorregar” seu giz pelo quadro negro e cumprir a exposição do conteudo mínimo dentro do tempo destinado a isso. Mas, não era assim, para uma maioria, eu incluso. Tive que estudar muito para suprir as deficiências não eliminadas anteriormente. E uma das coisas, que evidentemente era muito usada, era precisamente a exposição como o uso incontornável de somatórios. Conclui a cadeira, “abiscoitei” meus créditos eletivos, e bola prá frente, ficando tudo aquilo para trás, que para frente vinha mais e eu precisava cuidar da situação presente a cada semestre. Somente após concluir a graduação, é que, voltando a estudar física(Relatividade, especificamente), de maneira auto-didata, é que tomei consciência de que, sem um conhecimento sólido e apropriado de álgebra Linear, não se poderia chegar a lugar nenhum. Mas em momento algum os professores de então fizeram alguma preleção nesse sentido.
    Quanto às operações com somatórios, então… Mas você, nesse mister, resgatou, para seus alunos e leitores interessados, grande parte dessa importância.
    Parabéns.

    Sds,
    Victor.

  4. reginaldo said,

    agosto 26, 2011 @ 14:19

    Olá Victor,
    Mais uma vez, grato deveras pelas suas palavras de elogio e estímulo! Concordo com você plenamente quanto à maneira que muitas vezes temos que tocar a bola para frente. É por causa disso que existe o Nerdyard, cuja missão é tentar sanar essas deficiências de uma maneira indolor e divertida. Ressalto aqui meus agradecimentos pela sua contribuição com esse comentário relevante, em que você divide sua história pessoal para corroborar uma percepção que tenho exposto aqui no Nerdyard. Valeu mesmo!

  5. Igor said,

    agosto 15, 2012 @ 10:32

    Esse foi o primeiro post que eu li neste blog, e devido à maneira simples e precisa com que foi escrito, fiquei muito curioso para ler outras publicações. Muito grato pelas informações que você passou de forma bastante didática. Também gostei do uso do Latex, editor que sempre tive vontade de conhecer, mas adio o estudo devido a outras prioridades. Me viro como posso com o Word… 🙂 Se você pudesse me indicar algum material para iniciantes, ficaria extremamente agradecido. Obrigado mais uma vez pela postagem, continue com o excelente trabalho!

  6. reginaldo said,

    agosto 29, 2012 @ 11:43

    Olá Igor,
    Grato deveras pelo seu comentário e pelo estímulo! Valeu mesmo! Quanto a aprender a usar LaTeX, eu sugiro que você instale o MikTeX no seu computador e, logo depois, instale o LyX, que é um programa em que você tem um front-end muito fácil de usar, mas que resulta em arquivos em LaTeX. Há também um programa gratuito que você pode instalar depois que já tiver o MikTeX, que é o TeXnicCenter. Esse programa já é mais complicado do que o LyX, mas é melhor para aprender os comando de LaTeX. Espero ter ajudado e, mais uma vez, grato deveras, valeu!

  7. Juliana said,

    abril 17, 2016 @ 13:27

    Reginaldo, rapaz…. Me ajudou muito essa explicação. Sou estudante de Geofísica da UFPA e estou tentando fazer uma subrotina de Mínimos Quadrados no FORTRAN, e o meu problema maior era pra entender o bendito somatório! Esse texto clareou as coisas por aqui na minha mente hahaha

    Dei uma lida nos outros textos do seu blog e já gostei pra caramba, muito didático e, o melhor, me incentivou a querer aprender mais; acho que os conteúdos ministrados em sala de aula poderiam ser mais bem aprendidos por nós, alunos, se houvesse mais tempo para os professores ministrarem as matérias.

    Enfim, muito obrigada! Ajudou-me bastante!!

  8. reginaldo said,

    abril 19, 2016 @ 10:17

    Olá Juliana,
    Que bom que você conseguiu entender o “bendito somatório”! Eu mesmo tive esse problema quando comecei a estudar; o curso era Álgebra Linear… Ótimo que você gostou das postagens e que elas tenham lhe estimulado a aprender mais! Excelente!
    Grato deveras pelo seu comentário e pelos elogios! É disso que o Nerdyard se sustenta!
    Tudo de bom a você e sucesso em Geofísica!

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