Oscilações forçadas

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Depois de ter visto como são as oscilações amortecidas, agora você pode facilmente entender as oscilações forçadas. Aqui vou ignorar a dissipação e apenas introduzir uma força oscilante ao sistema massa-mola. A equação ao longo do eixo fica assim, por exemplo,

onde é a massa do bloco que está preso à mola de constante elástica e é a amplitude da força externa oscilante aplicada ao bloco de massa ao longo do eixo A força é aplicada com uma frequência angular Como é usual, vou definir a frequência natural do sistema massa-mola como

e, portanto,

Seja

com e variáveis reais. Note que a equação de movimento que queremos resolver,

pode ser obtida tomando a parte real de ambos os membros da seguinte equação diferencial da variável complexa

Essa mesma equação também pode ser escrita assim:

Veja que interessante a propriedade seguinte:

isto é,

Seja, portanto, a função auxiliar

Então, a equação diferencial que estamos querendo resolver,

pode ser escrita em termos da função auxiliar como

Essa equação diferencial é de primeira ordem, sendo possível resolvê-la com uma só integração. Antes de prosseguir com a integração, entretanto, convém notar que podemos multiplicar ambos os membros dessa equação por

Note também que

e, portanto, a equação agora fica

isto é, lembrando da regra para obter a derivada do produto de duas funções,

que é bem fácil de integrar. O resultado da integral dos dois membros dessa equação é

onde é uma constante complexa arbitrária. Multiplicando ambos os membros dessa equação por resulta em

Para encontrar lembramos que

e, usando o resultado acima para resolvemos mais uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:

Procedemos analogamente ao caso da equação para que resolvemos acima e multiplicamos ambos os membros dessa equação por

isto é,

A integração de ambos os membros com respeito à variável dá:

onde é outra constante complexa arbitrária. Podemos agora multiplicar ambos os membros dessa equação por para obter:

isto é,

Como essa solução tem duas constantes complexas arbitrárias e independentes, segue que essa é a solução geral da equação do oscilador forçado para a variável complexa

A solução da equação do oscilador forçado para a variável real é obtida quando tomamos a parte real da solução para a variável complexa

Assim,

Podemos usar a fórmula de Euler, isto é,

e

e obtemos

isto é,

ou seja,

Como

vem

Analogamente,

isto é,

ou seja,

Com isso, podemos escrever

onde, para simplificar, definimos duas constantes reais arbritárias assim:

e

Logo, a solução geral que procuramos fica

onde e são constantes reais arbitrárias e independentes.

Para ilustrar como é esse movimento forçado, vou supor que o oscilador parte do repouso, em a partir da posição de equilíbrio, em As condições iniciais para o problema são, portanto,

e

Mas, da solução acima,

e

isto é,

Impondo as condições iniciais

e

resulta em

isto é,

e

ou seja,

Substituindo esses resultados para e na solução geral para obtemos

isto é,

Essa solução expressa um exemplo de ressonância: quando se aproxima de há um pico de amplitude do movimento para cada instante Para ver isso, basta tomarmos o limite:

Como esse limite está indefinido, podemos utilizar a regra de l’Hôpital para obter:

isto é,

Portanto,

Veja que a amplitude desse movimento cresce com o tempo ao mesmo tempo em que oscila. Só para ter uma ideia de como o movimento ressonante aumenta de amplitude, fiz o gráfico da figura abaixo para a função


Exemplo de movimento ressonante

Maneiro, não é? 😎

😎

Música desta postagem: Gymnopedie No. 1 (Lent et douloureux) de Erik Satie, por Chase Coleman

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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8 Comments for Oscilações forçadas

  1. Rodrigo said,

    setembro 23, 2010 @ 14:52

    Professor , se o Moysés um dia ver suas postagens, duas coisas podera acontecer: ou ele cortará as mãos ou se tracará em casa e nunca mais vai sair, de tanta vergonha de um dia ter escrito aquele livro.Não oque o livro não seja bom, mas você escreve muitissimo melhor.Parabéns pelo seu trabalho.

  2. reginaldo said,

    setembro 23, 2010 @ 16:15

    Olá Rodrigo,
    Grato deveras pelo seu comentário. Assim eu fico rubro… Fico muito feliz por você ter achado que ajudei! Não queremos, no entanto que nosso ilustre Prof. Moysés cometa nenhum ato radical, não é mesmo? Minha intenção jamais foi essa! O que fiz foi simplesmente tentar colocar de forma explícita, com detalhes suficientes para ser fácil de acompanhar, o que os livros-texto em geral não explicitam. Mais uma vez, grato deveras pelo elogio!

  3. Marcelo said,

    setembro 30, 2010 @ 0:42

    Eu concordo que ele amputarias suas mãos.
    Este blog é realmente divino. Minha mãe me manda ir a igreja e eu não vou para ficar lendo seu blog. Obrigado por me libertar das amarras.

    Grato !!!

  4. reginaldo said,

    setembro 30, 2010 @ 16:23

    Olá Marcelo,
    Grato deveras pelo seu comentário. Aliás, você trocar a igreja para ler meu blog é realmente um dos melhores estímulos que eu poderia receber. Obrigado mesmo! Valeu! 😎

  5. salvio said,

    outubro 25, 2010 @ 23:31

    nossa professor realmente seu blog é o máximo!!! Nem digo o que o Moyses deveria amputar =P…explicas muito melhor que ele

    Suas aulas são um estímulo a qualquer um, que trilhe o árduo caminho da física, mas temos um grande exemplo de que vale a pena!!

    abraços

  6. reginaldo said,

    outubro 26, 2010 @ 14:47

    Olá Salvio,
    Grato deveras pelo seu comentário. Fico entusiasmado pelas suas palavras de estímulo e sua apreciação de meu blog. Como eu já disse em comentário respondendo ao Rodrigo, não queremos, que nosso ilustre Prof. Moysés cometa nenhum ato radical do tipo que você sugere, não é mesmo? Minha intenção jamais foi essa! O que fiz foi simplesmente tentar colocar de forma explícita, com detalhes suficientes para ser fácil de acompanhar, o que os livros-texto em geral não explicitam. O Prof. Moysés é uma pessoa muito querida na comunidade dos físicos e tem sido, ele próprio, um exemplo de cientista brasileiro, com contribuições imensas para a Ciência. Sei que você e os outros colegas jamais pensariam mal da pessoa do Prof. Moysés e estão apenas comentanto um tópico do livro-texto, independentemente de qualquer tentativa de ataque pessoal. Mais uma vez, grato deveras pelo elogio!

  7. kely said,

    fevereiro 4, 2012 @ 10:28

    Adorei o post. Muito mais completo em relação aos materias aos quais tive acesso.

  8. reginaldo said,

    fevereiro 14, 2012 @ 10:31

    Olá Kely,
    Grato deveras pelo seu comentário. Fico muitíssimo satisfeito que minha postagem tenha podido ajudar você! Valeu mesmo pelo feedback! 🙂

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