Oscilações forcadas e amortecidas

Audio clip: Adobe Flash Player (version 9 or above) is required to play this audio clip. Download the latest version here. You also need to have JavaScript enabled in your browser.

Já publiquei postagens sobre oscilações amortecidas e oscilações forçadas. Na prática, no entanto, não há apenas oscilações forçadas, sem amortecimento. Então, se quisermos ser mais completos, precisamos resolver o problema mais realístico, em que não só temos amortecimento, mas também temos uma força externa atuando de modo a impor movimento continuado ao sistema, compensando o amortecimento. A equação de movimento que vamos abordar aqui é a seguinte:

onde, como já temos adotado, é a massa do bloco que está preso à mola de constante elástica é a constante de amortecimento e é a amplitude da força externa oscilante aplicada ao bloco de massa ao longo do eixo Dividindo tudo por e definindo

e

podemos escrever a equação de movimento como

Como agora já se tornou praxe, resolveremos, primeiramente, a equação

para a variável complexa

Como já fizemos anteriormente nos casos das oscilações amortecidas e oscilações forçadas, tomando a parte real de ambos os membros da equação complexa

obteremos a equação para a variável real acima, isto é,

Para tornar esse problema ainda mais excitante, vou considerar o caso de amortecimento subcrítico, quando

Nesse caso, considere as constantes que já apareceram no problema das oscilações amortecidas:

com

Note, agora, a seguinte identidade:

Veja que

Além disso, também observe que

isto é,

Então, fica claro que

Como

segue que

Como fizemos anteriormente no contexto das oscilações amortecidas e oscilações forçadas, definamos a função auxiliar

Então,

O próximo passo é multiplicar ambos os membros dessa equação por dando

isto é,

cuja integral dá

ou seja,

onde é uma constante complexa arbitrária.

Da definição de e do resultado que acabamos de obter segue a equação diferencial ordinária de primeira ordem que dá

isto é,

Agora fazemos o que já está virando rotina: multiplicamos ambos os membros dessa equação por e ficamos com

isto é,

Essa equação é fácil de resolver por integração de ambos os membros com respeito à variável

e, portanto,

onde é uma constante complexa arbitrária e independente de Para simplificar a notação, seja

Como é uma constante arbitrária, segue que também é uma constante complexa arbitrária e podemos escrever

Podemos simplificar essa resposta usando

com

Então,

O denominador do primeiro termo pode ser simplificado assim:

isto é,

e, portanto,

Logo,

Usando a fórmula de Euler, podemos escrever

e

resultando na expressão

onde, por conveniência notacional, definimos as constantes complexas arbitrárias e independentes

e

Agora que temos a solução complexa, podemos tomar sua parte real para obter a solução real

onde

e

Consideremos o primeiro termo:

já que e são constante reais. Podemos calcular a parte real do quociente acima notando que:

isto é,

Então,

ou seja,

Portanto, a solução geral para a variável real fica

onde e são constantes arbitrárias reais e independentes. Note que quando não há amortecimento, isto é, essa solução se reduz à solução geral das oscilações forçadas:

com

Ainda dá para simplificar mais a notação da solução

se definirmos uma fase notando a argumentação que segue. Seja, para facilitar,

Assim,

Note que

e, portanto, podemos definir

e

Então,

A solução geral fica, agora,

Transiente

Note o que acontece para tempos muito maiores do que : o segundo termo da solução acima fica desprezível, enquanto que o primeiro termo continua oscilando normalmente com frequência Isso acontece porque quando

temos

O segundo termo,

qualificado como transiente por causa de sua irrelevância após um intervalo de tempo limitado, é a solução geral da equação homogênea, isto é,

Solução estacionária

Após um intervalo de tempo suficientemente maior do que a contribuição da parte transiente fica desprezível e a solução geral acima, tende para uma solução que, apesar de oscilar com frequência permanece imutável com o passar do tempo, isto é,

Essa solução limite, para longos tempos, é chamada de solução estacionária e satisfaz a equação original,

sem, no entanto, ser geral, pois não apresenta constantes arbitrárias. É por isso que também é conhecida como a solução particular da equação inomogênea

Em resumo, a solução geral para o problema do oscilador forçado e amortecido é a soma de uma solução particular da equação inomogênea original e da solução geral da equação homogênea associada. Essa análise ilustra a estrutura geral das soluções de equações diferenciais ordinárias e inomogêneas. Usualmente sempre que tivermos um problema desses poderemos proceder procurando pelas soluções estacionária e transiente. Poderíamos ter resolvido o presente problema dessa forma, ao invés de fazer as duas integrações da presente abordagem. Tratamentos nos quais primeiro é feita a procura pela solução estacionária são usualmente adotados em livros-texto. Aqui, achei que seria mais didático fazer duas integrações e obter, naturalmente, as duas constantes arbitrárias.

😎

Música desta postagem: Piano Concerto No. 21 in C Major KV 467 (Andante) de Wolfgang Amadeus Mozart, por Roberto Carnevale, conducting the Amadeus Chamber Orchestra from the keyboard

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

Uma versão em PDF

Gostou desta postagem? Então clique no botão abaixo e siga o Nerdyard no Twitter! Toda vez que houver uma nova postagem aqui, você saberá imediatamente! :cool:

Siga Nerdyard no Twitter

Melhor ainda: inscreva-se em Nerdyard e receba, por e-mail, o aviso com links para cada nova postagem ou novidade.

Google Groups
Inscreva-se em Nerdyard
Melhor email:
Visite este grupo

NOTE QUE EU ODEIO SPAM COM TODA CONVICÇÃO! :cool:

Dessa forma, não se preocupe: eu juro que jamais fornecerei seu endereço de e-mail ou qualquer outra informação sobre você para ninguém!

Clip to Evernote

6 Comments for Oscilações forcadas e amortecidas

  1. andre washington said,

    outubro 13, 2010 @ 10:33

    prof. execelente explicaçao. poderia postar algum exemplo a respeito da soluçao estacionaria ? como eu calculo o w (omega) para obter a oscilaçao maxima ?
    obg

  2. Guilhermer Marques said,

    outubro 14, 2010 @ 12:12

    Excelente!! Muito bem explicado! Me ajudou muito em uma materia na faculdade… e na prova principalmente!! obrigado.

  3. reginaldo said,

    outubro 14, 2010 @ 14:57

    Olá Andre Washington,
    Grato deveras pelo seu comentário. Não foi possível, até o momento, colocar mais nada sobre oscilações no Nerdyard porque estou ainda trabalhando em uma postagem sobre expansão de funções em séries de Taylor. No entanto, a solução estacionária é um tópico interessante que talvez eu venha a abordar com exclusividade no futuro e, portanto, grato pela sugestão. Para calcular a frequência em que a amplitude é máxima, você deve tomar a derivada da amplitude de oscilação com relação a e igualar a zero. Resolvendo a equação resultante, você achará a equação para a frequência de oscilação máxima. Experimente!

  4. reginaldo said,

    outubro 14, 2010 @ 14:59

    Olá Guilhermer Marques,
    Grato deveras pelo seu comentário! Fico muito feliz sabendo que algo que disponibilizo no Nerdyard ajuda pessoas a entenderem mais sobre física! Realmente, é isso que me inspira a continuar colocando essas postagens on-line. Mais uma vez, grato deveras pelo estímulo!

  5. Ítalo said,

    novembro 11, 2014 @ 3:41

    Boa explicação!
    Existem outros métodos de se resolver este tipo de EDO, mas esta é excelente!
    Parabéns!

  6. reginaldo said,

    novembro 18, 2014 @ 11:13

    Grato deveras, Ítalo, pelo seu comentário! Fico extremamente feliz que você gostou! Seu estímulo é o combustível do entusiasmo que me compela a produzir essas postagens. Grato deveras, valeu mesmo!

RSS comments feed· TrackBack URI Oscilações forcadas e amortecidas

Deixe um comentário for Oscilações forcadas e amortecidas

Editor de Equações (www.codecogs.com/latex/eqneditor.php)

Para entender como utilizar esse editor de equações, clique aqui.