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Já publiquei postagens sobre oscilações amortecidas e oscilações forçadas. Na prática, no entanto, não há apenas oscilações forçadas, sem amortecimento. Então, se quisermos ser mais completos, precisamos resolver o problema mais realístico, em que não só temos amortecimento, mas também temos uma força externa atuando de modo a impor movimento continuado ao sistema, compensando o amortecimento. A equação de movimento que vamos abordar aqui é a seguinte:
onde, como já temos adotado, é a massa do bloco que está preso à mola de constante elástica
é a constante de amortecimento e
é a amplitude da força externa oscilante aplicada ao bloco de massa
ao longo do eixo
Dividindo tudo por
e definindo
e
podemos escrever a equação de movimento como
Como agora já se tornou praxe, resolveremos, primeiramente, a equação
para a variável complexa
Como já fizemos anteriormente nos casos das oscilações amortecidas e oscilações forçadas, tomando a parte real de ambos os membros da equação complexa
obteremos a equação para a variável real acima, isto é,
Para tornar esse problema ainda mais excitante, vou considerar o caso de amortecimento subcrítico, quando
Nesse caso, considere as constantes que já apareceram no problema das oscilações amortecidas:
com
Note, agora, a seguinte identidade:
Veja que
Além disso, também observe que
isto é,
Então, fica claro que
Como
segue que
Como fizemos anteriormente no contexto das oscilações amortecidas e oscilações forçadas, definamos a função auxiliar
Então,
O próximo passo é multiplicar ambos os membros dessa equação por dando
isto é,
cuja integral dá
ou seja,
onde é uma constante complexa arbitrária.
Da definição de e do resultado que acabamos de obter segue a equação diferencial ordinária de primeira ordem que dá
isto é,
Agora fazemos o que já está virando rotina: multiplicamos ambos os membros dessa equação por e ficamos com
isto é,
Essa equação é fácil de resolver por integração de ambos os membros com respeito à variável
e, portanto,
onde é uma constante complexa arbitrária e independente de
Para simplificar a notação, seja
Como é uma constante arbitrária, segue que
também é uma constante complexa arbitrária e podemos escrever
Podemos simplificar essa resposta usando
com
Então,
O denominador do primeiro termo pode ser simplificado assim:
isto é,
e, portanto,
Logo,
Usando a fórmula de Euler, podemos escrever
e
resultando na expressão
onde, por conveniência notacional, definimos as constantes complexas arbitrárias e independentes
e
Agora que temos a solução complexa, podemos tomar sua parte real para obter a solução real
onde
e
Consideremos o primeiro termo:
já que e
são constante reais. Podemos calcular a parte real do quociente acima notando que:
isto é,
Então,
ou seja,
Portanto, a solução geral para a variável real fica
onde e
são constantes arbitrárias reais e independentes. Note que quando não há amortecimento, isto é,
essa solução se reduz à solução geral das oscilações forçadas:
com
Ainda dá para simplificar mais a notação da solução
se definirmos uma fase notando a argumentação que segue. Seja, para facilitar,
Assim,
Note que
e, portanto, podemos definir
e
Então,
A solução geral fica, agora,
Transiente
Note o que acontece para tempos muito maiores do que : o segundo termo da solução acima fica desprezível, enquanto que o primeiro termo continua oscilando normalmente com frequência
Isso acontece porque quando
temos
O segundo termo,
qualificado como transiente por causa de sua irrelevância após um intervalo de tempo limitado, é a solução geral da equação homogênea, isto é,
Solução estacionária
Após um intervalo de tempo suficientemente maior do que a contribuição da parte transiente
fica desprezível e a solução geral acima,
tende para uma solução que, apesar de oscilar com frequência
permanece imutável com o passar do tempo, isto é,
Essa solução limite, para longos tempos, é chamada de solução estacionária e satisfaz a equação original,
sem, no entanto, ser geral, pois não apresenta constantes arbitrárias. É por isso que também é conhecida como a solução particular da equação inomogênea
Em resumo, a solução geral para o problema do oscilador forçado e amortecido é a soma de uma solução particular da equação inomogênea original e da solução geral da equação homogênea associada. Essa análise ilustra a estrutura geral das soluções de equações diferenciais ordinárias e inomogêneas. Usualmente sempre que tivermos um problema desses poderemos proceder procurando pelas soluções estacionária e transiente. Poderíamos ter resolvido o presente problema dessa forma, ao invés de fazer as duas integrações da presente abordagem. Tratamentos nos quais primeiro é feita a procura pela solução estacionária são usualmente adotados em livros-texto. Aqui, achei que seria mais didático fazer duas integrações e obter, naturalmente, as duas constantes arbitrárias.
😎
Música desta postagem: Piano Concerto No. 21 in C Major KV 467 (Andante) de Wolfgang Amadeus Mozart, por Roberto Carnevale, conducting the Amadeus Chamber Orchestra from the keyboard
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prof. execelente explicaçao. poderia postar algum exemplo a respeito da soluçao estacionaria ? como eu calculo o w (omega) para obter a oscilaçao maxima ?
obg
Excelente!! Muito bem explicado! Me ajudou muito em uma materia na faculdade… e na prova principalmente!! obrigado.
Olá Andre Washington,
em que a amplitude é máxima, você deve tomar a derivada da amplitude de oscilação com relação a
e igualar a zero. Resolvendo a equação resultante, você achará a equação para a frequência de oscilação máxima. Experimente!
Grato deveras pelo seu comentário. Não foi possível, até o momento, colocar mais nada sobre oscilações no Nerdyard porque estou ainda trabalhando em uma postagem sobre expansão de funções em séries de Taylor. No entanto, a solução estacionária é um tópico interessante que talvez eu venha a abordar com exclusividade no futuro e, portanto, grato pela sugestão. Para calcular a frequência
Olá Guilhermer Marques,
Grato deveras pelo seu comentário! Fico muito feliz sabendo que algo que disponibilizo no Nerdyard ajuda pessoas a entenderem mais sobre física! Realmente, é isso que me inspira a continuar colocando essas postagens on-line. Mais uma vez, grato deveras pelo estímulo!
Boa explicação!
Existem outros métodos de se resolver este tipo de EDO, mas esta é excelente!
Parabéns!
Grato deveras, Ítalo, pelo seu comentário! Fico extremamente feliz que você gostou! Seu estímulo é o combustível do entusiasmo que me compela a produzir essas postagens. Grato deveras, valeu mesmo!