Oscilações forcadas e amortecidas

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Já publiquei postagens sobre oscilações amortecidas e oscilações forçadas. Na prática, no entanto, não há apenas oscilações forçadas, sem amortecimento. Então, se quisermos ser mais completos, precisamos resolver o problema mais realístico, em que não só temos amortecimento, mas também temos uma força externa atuando de modo a impor movimento continuado ao sistema, compensando o amortecimento. A equação de movimento que vamos abordar aqui é a seguinte:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle m\displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}} & = & \displaystyle -kx-\alpha\displaystyle\frac{dx}{dt}+F_{0}\cos\left(\omega t\right),\end{array}$

onde, como já temos adotado, ${ m>0}$ é a massa do bloco que está preso à mola de constante elástica ${ k>0,}$ ${ \alpha>0}$ é a constante de amortecimento e ${ F_{0}\in\mathbb{R}}$ é a amplitude da força externa oscilante aplicada ao bloco de massa ${ m}$ ao longo do eixo ${ x.}$ Dividindo tudo por ${ m}$ e definindo

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \omega_{0} & = & \displaystyle \sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \gamma & = & \displaystyle \displaystyle\frac{\alpha}{m},\end{array}$

podemos escrever a equação de movimento como

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\gamma\displaystyle\frac{dx}{dt}+\omega_{0}^{2}x & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m}\cos\left(\omega t\right).\end{array}$

Como agora já se tornou praxe, resolveremos, primeiramente, a equação

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}z}{dt^{2}}+\gamma\displaystyle\frac{dz}{dt}+\omega_{0}^{2}z & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m}\exp\left(i\omega t\right)\end{array}$

para a variável complexa

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z & = & \displaystyle x+iy.\end{array}$

Como já fizemos anteriormente nos casos das oscilações amortecidas e oscilações forçadas, tomando a parte real de ambos os membros da equação complexa

obteremos a equação para a variável real ${ x}$ acima, isto é,

Para tornar esse problema ainda mais excitante, vou considerar o caso de amortecimento subcrítico, quando

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \gamma & < & 2\omega_{0}.\end{array}$

Nesse caso, considere as constantes que já apareceram no problema das oscilações amortecidas:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \zeta_{\pm} & = & \displaystyle -\displaystyle\frac{\gamma}{2}\pm i\omega_{1},\end{array}$

com

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \omega_{1} & = & \displaystyle \sqrt{\omega_{0}^{2}-\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}}.\end{array}$

Note, agora, a seguinte identidade:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{dz}{dt}-\zeta_{+}z\right)-\zeta_{-}\left(\displaystyle\frac{dz}{dt}-\zeta_{+}z\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}z}{dt^{2}}-\left(\zeta_{+}+\zeta_{-}\right)\displaystyle\frac{dz}{dt}+\zeta_{-}\zeta_{+}z.\end{array}$

Veja que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \zeta_{+}+\zeta_{-} & = & \displaystyle -\displaystyle\frac{\gamma}{2}+i\omega_{1}-\displaystyle\frac{\gamma}{2}-i\omega_{1}=-\gamma.\end{array}$

Além disso, também observe que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \zeta_{-}\zeta_{+} & = & \displaystyle \left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}-i\omega_{1}\right)\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}+i\omega_{1}\right)=\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}-i^{2}\omega_{1}^{2}=\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}+\omega_{1}^{2},\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \zeta_{-}\zeta_{+} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}+\omega_{1}^{2}=\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}+\omega_{0}^{2}-\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}=\omega_{0}^{2}.\end{array}$

Então, fica claro que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{dz}{dt}-\zeta_{+}z\right)-\zeta_{-}\left(\displaystyle\frac{dz}{dt}-\zeta_{+}z\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}z}{dt^{2}}+\gamma\displaystyle\frac{dz}{dt}+\omega_{0}^{2}z.\end{array}$

Como

segue que

Como fizemos anteriormente no contexto das oscilações amortecidas e oscilações forçadas, definamos a função auxiliar

$\begin{array}{rcl} \displaystyle f\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}-\zeta_{+}z\left(t\right).\end{array}$

Então,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{df\left(t\right)}{dt}-\zeta_{-}f\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m}\exp\left(i\omega t\right).\end{array}$

O próximo passo é multiplicar ambos os membros dessa equação por ${ \exp\left(-\zeta_{-}t\right),}$ dando

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \exp\left(-\zeta_{-}t\right)\displaystyle\frac{df\left(t\right)}{dt}-\zeta_{-}\exp\left(-\zeta_{-}t\right)f\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m}\exp\left[\left(-\zeta_{-}+i\omega\right)t\right],\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d}{dt}\left[\exp\left(-\zeta_{-}t\right)f\left(t\right)\right] & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m}\exp\left[\left(-\zeta_{-}+i\omega\right)t\right],\end{array}$

cuja integral dá

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \exp\left(-\zeta_{-}t\right)f\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m\left(-\zeta_{-}+i\omega\right)}\exp\left[\left(-\zeta_{-}+i\omega\right)t\right]+C_{0},\end{array}$

ou seja,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle f\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m\left(-\zeta_{-}+i\omega\right)}\exp\left(i\omega t\right)+C_{0}\exp\left(\zeta_{-}t\right),\end{array}$

onde ${ C_{0}}$ é uma constante complexa arbitrária.

Da definição de ${ f\left(t\right)}$ e do resultado que acabamos de obter segue a equação diferencial ordinária de primeira ordem que dá ${ z\left(t\right):}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle f\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}-\zeta_{+}z\left(t\right),\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}-\zeta_{+}z\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m\left(-\zeta_{-}+i\omega\right)}\exp\left(i\omega t\right)+C_{0}\exp\left(\zeta_{-}t\right).\end{array}$

Agora fazemos o que já está virando rotina: multiplicamos ambos os membros dessa equação por ${ \exp\left(-\zeta_{+}t\right)}$ e ficamos com

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \exp\left(-\zeta_{+}t\right)\displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}-\zeta_{+}\exp\left(-\zeta_{+}t\right)z\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m\left(-\zeta_{-}+i\omega\right)}\exp\left[\left(i\omega-\zeta_{+}\right)t\right]+C_{0}\exp\left[\left(\zeta_{-}-\zeta_{+}\right)t\right],\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d}{dt}\left[\exp\left(-\zeta_{+}t\right)z\left(t\right)\right] & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m\left(-\zeta_{-}+i\omega\right)}\exp\left[\left(i\omega-\zeta_{+}\right)t\right]+C_{0}\exp\left[\left(\zeta_{-}-\zeta_{+}\right)t\right].\end{array}$

Essa equação é fácil de resolver por integração de ambos os membros com respeito à variável ${ t:}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \exp\left(-\zeta_{+}t\right)z\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m\left(-\zeta_{-}+i\omega\right)\left(i\omega-\zeta_{+}\right)}\exp\left[\left(i\omega-\zeta_{+}\right)t\right]+\displaystyle\frac{C_{0}}{\left(\zeta_{-}-\zeta_{+}\right)}\exp\left[\left(\zeta_{-}-\zeta_{+}\right)t\right]+C_{2}\end{array}$

e, portanto,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m\left(-\zeta_{-}+i\omega\right)\left(i\omega-\zeta_{+}\right)}\exp\left(i\omega t\right)+\displaystyle\frac{C_{0}}{\left(\zeta_{-}-\zeta_{+}\right)}\exp\left(\zeta_{-}t\right)+C_{2}\exp\left(\zeta_{+}t\right),\end{array}$

onde ${ C_{2}}$ é uma constante complexa arbitrária e independente de ${ C_{0}.}$ Para simplificar a notação, seja

$\begin{array}{rcl} \displaystyle C_{1} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{C_{0}}{\left(\zeta_{-}-\zeta_{+}\right)}.\end{array}$

Como ${ C_{0}}$ é uma constante arbitrária, segue que ${ C_{1}}$ também é uma constante complexa arbitrária e podemos escrever

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m\left(-\zeta_{-}+i\omega\right)\left(i\omega-\zeta_{+}\right)}\exp\left(i\omega t\right)+C_{1}\exp\left(\zeta_{-}t\right)+C_{2}\exp\left(\zeta_{+}t\right).\end{array}$

Podemos simplificar essa resposta usando

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \zeta_{\pm} & = & \displaystyle -\displaystyle\frac{\gamma}{2}\pm i\omega_{1},\end{array}$

com

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \omega_{1} & = & \displaystyle \sqrt{\omega_{0}^{2}-\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}}.\end{array}$

Então,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}\exp\left(i\omega t\right)}{m\left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}+i\omega+i\omega_{1}\right)\left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}+i\omega-i\omega_{1}\right)}+\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\left[C_{1}\exp\left(-i\omega_{1}t\right)+C_{2}\exp\left(i\omega_{1}t\right)\right].\end{array}$

O denominador do primeiro termo pode ser simplificado assim:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}+i\omega+i\omega_{1}\right)\left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}+i\omega-i\omega_{1}\right) & = & \displaystyle \left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}+i\omega\right)^{2}-i^{2}\omega_{1}^{2}=\left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}+i\omega\right)^{2}+\omega_{1}^{2},\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}+i\omega+i\omega_{1}\right)\left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}+i\omega-i\omega_{1}\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}+i\gamma\omega-\omega^{2}+\omega_{1}^{2}=\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}+i\gamma\omega-\omega^{2}+\omega_{0}^{2}-\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}\end{array}$

e, portanto,

Logo,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}\exp\left(i\omega t\right)}{m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)+i\gamma\omega\right]}+\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\left[C_{1}\exp\left(-i\omega_{1}t\right)+C_{2}\exp\left(i\omega_{1}t\right)\right].\end{array}$

Usando a fórmula de Euler, podemos escrever

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \exp\left(i\omega_{1}t\right) & = & \displaystyle \cos\left(\omega_{1}t\right)+i\,\mathrm{sen}\left(\omega_{1}t\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \exp\left(-i\omega_{1}t\right) & = & \displaystyle \cos\left(\omega_{1}t\right)-i\,\mathrm{sen}\left(\omega_{1}t\right),\end{array}$

resultando na expressão

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}\exp\left(i\omega t\right)}{m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)+i\gamma\omega\right]}+\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\left[A\cos\left(\omega_{1}t\right)+B\,\mathrm{sen}\left(\omega_{1}t\right)\right],\end{array}$

onde, por conveniência notacional, definimos as constantes complexas arbitrárias e independentes

$\begin{array}{rcl} \displaystyle A & = & \displaystyle C_{1}+C_{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle B & = & \displaystyle i\left(C_{2}-C_{1}\right).\end{array}$

Agora que temos a solução complexa, podemos tomar sua parte real para obter a solução real ${ x\left(t\right)=\mathrm{Re}\left[z\left(t\right)\right]:}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle x\left(t\right) & = & \displaystyle \mathrm{Re}\left\{ \displaystyle\frac{F_{0}\exp\left(i\omega t\right)}{m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)+i\gamma\omega\right]}\right\} +\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\left[a\cos\left(\omega_{1}t\right)+b\,\mathrm{sen}\left(\omega_{1}t\right)\right],\end{array}$

onde

$\begin{array}{rcl} \displaystyle a & = & \displaystyle \mathrm{Re}\left(A\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle b & = & \displaystyle \mathrm{Re}\left(B\right).\end{array}$

Consideremos o primeiro termo:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{Re}\left\{ \displaystyle\frac{F_{0}\exp\left(i\omega t\right)}{m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)+i\gamma\omega\right]}\right\} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m}\mathrm{Re}\left\{ \displaystyle\frac{\cos\left(\omega t\right)+i\,\mathrm{sen}\left(\omega t\right)}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)+i\gamma\omega}\right\} ,\end{array}$

já que ${ F_{0}}$ e ${ m}$ são constante reais. Podemos calcular a parte real do quociente acima notando que:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)+i\gamma\omega} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)-i\gamma\omega}{\left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)+i\gamma\omega\right]\left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)-i\gamma\omega\right]},\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)+i\gamma\omega} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)-i\gamma\omega}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}.\end{array}$

Então,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{Re}\left\{ \displaystyle\frac{F_{0}\exp\left(i\omega t\right)}{m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)+i\gamma\omega\right]}\right\} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m}\displaystyle\frac{\mathrm{Re}\left\{ \left[\cos\left(\omega t\right)+i\,\mathrm{sen}\left(\omega t\right)\right]\left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)-i\gamma\omega\right]\right\} }{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}},\end{array}$

ou seja,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{Re}\left\{ \displaystyle\frac{F_{0}\exp\left(i\omega t\right)}{m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)+i\gamma\omega\right]}\right\} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m}\left[\displaystyle\frac{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)\cos\left(\omega t\right)+\gamma\omega\,\mathrm{sen}\left(\omega t\right)}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right].\end{array}$

Portanto, a solução geral para a variável real ${ x\left(t\right)}$ fica

$\begin{array}{rcl} \displaystyle x\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m}\left[\displaystyle\frac{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)\cos\left(\omega t\right)+\gamma\omega\,\mathrm{sen}\left(\omega t\right)}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]+\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\left[a\cos\left(\omega_{1}t\right)+b\,\mathrm{sen}\left(\omega_{1}t\right)\right],\end{array}$

onde ${ a}$ e ${ b}$ são constantes arbitrárias reais e independentes. Note que quando não há amortecimento, isto é, ${ \gamma=0,}$ essa solução se reduz à solução geral das oscilações forçadas:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{\gamma\rightarrow0}x\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}\cos\left(\omega t\right)}{m\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)}+a\cos\left(\omega_{0}t\right)+b\,\mathrm{sen}\left(\omega_{0}t\right),\end{array}$

com

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{\gamma\rightarrow0}\omega_{1} & = & \displaystyle \lim_{\gamma\rightarrow0}\sqrt{\omega_{0}^{2}-\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}}=\omega_{0}.\end{array}$

Ainda dá para simplificar mais a notação da solução

se definirmos uma fase ${ \varphi}$ notando a argumentação que segue. Seja, para facilitar,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle D^{2} & = & \displaystyle \left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}.\end{array}$

Assim,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)\cos\left(\omega t\right)+\gamma\omega\,\mathrm{sen}\left(\omega t\right)}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{D}\left[\displaystyle\frac{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)}{D}\cos\left(\omega t\right)+\displaystyle\frac{\gamma\omega}{D}\,\mathrm{sen}\left(\omega t\right)\right].\end{array}$

Note que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left[\displaystyle\frac{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)}{D}\right]^{2}+\left[\displaystyle\frac{\gamma\omega}{D}\right]^{2} & = & \displaystyle 1\end{array}$

e, portanto, podemos definir

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{sen}\varphi & = & \displaystyle -\displaystyle\frac{\gamma\omega}{D}=-\displaystyle\frac{\gamma\omega}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cos\varphi & = & \displaystyle \displaystyle\frac{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)}{D}=\displaystyle\frac{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}}.\end{array}$

Então,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)\cos\left(\omega t\right)+\gamma\omega\,\mathrm{sen}\left(\omega t\right)}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{D}\left[\cos\left(\omega t\right)\cos\varphi-\mathrm{sen}\left(\omega t\right)\,\mathrm{sen}\varphi\right]=\displaystyle\frac{\cos\left(\omega t+\varphi\right)}{D}.\end{array}$

A solução geral fica, agora,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle x\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}\cos\left(\omega t+\varphi\right)}{m\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}}+\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\left[a\cos\left(\omega_{1}t\right)+b\,\mathrm{sen}\left(\omega_{1}t\right)\right].\end{array}$

Transiente

Note o que acontece para tempos muito maiores do que ${ 1/\gamma}$ : o segundo termo da solução acima fica desprezível, enquanto que o primeiro termo continua oscilando normalmente com frequência ${ \omega.}$ Isso acontece porque quando

$\begin{array}{rcl} \displaystyle t & \gg & \displaystyle\frac{1}{\gamma}\end{array}$

temos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right) & \ll & 1.\end{array}$

O segundo termo,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle x_{\mathrm{tr}}\left(t\right) & = & \displaystyle \exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\left[a\cos\left(\omega_{1}t\right)+b\,\mathrm{sen}\left(\omega_{1}t\right)\right],\end{array}$

qualificado como transiente por causa de sua irrelevância após um intervalo de tempo limitado, é a solução geral da equação homogênea, isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}x_{\mathrm{tr}}\left(t\right)}{dt^{2}}+\gamma\displaystyle\frac{dx_{\mathrm{tr}}\left(t\right)}{dt}+\omega_{0}^{2}x_{\mathrm{tr}}\left(t\right) & = & \displaystyle 0.\end{array}$

Solução estacionária

Após um intervalo de tempo suficientemente maior do que ${ 1/\gamma,}$ a contribuição da parte transiente ${ x_{\mathrm{tr}}\left(t\right)}$ fica desprezível e a solução geral acima, ${ x\left(t\right),}$ tende para uma solução que, apesar de oscilar com frequência ${ \omega,}$ permanece imutável com o passar do tempo, isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle x\left(t\right) & \rightarrow & x_{\mathrm{est}}\left(t\right)=\displaystyle\frac{F_{0}\cos\left(\omega t+\varphi\right)}{m\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}}.\end{array}$

Essa solução limite, para longos tempos, é chamada de solução estacionária e satisfaz a equação original,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}x_{\mathrm{est}}\left(t\right)}{dt^{2}}+\gamma\displaystyle\frac{dx_{\mathrm{est}}\left(t\right)}{dt}+\omega_{0}^{2}x_{\mathrm{est}}\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{F_{0}}{m}\cos\left(\omega t\right),\end{array}$

sem, no entanto, ser geral, pois não apresenta constantes arbitrárias. É por isso que ${ x_{\mathrm{est}}\left(t\right)}$ também é conhecida como a solução particular da equação inomogênea

Em resumo, a solução geral para o problema do oscilador forçado e amortecido é a soma de uma solução particular da equação inomogênea original e da solução geral da equação homogênea associada. Essa análise ilustra a estrutura geral das soluções de equações diferenciais ordinárias e inomogêneas. Usualmente sempre que tivermos um problema desses poderemos proceder procurando pelas soluções estacionária e transiente. Poderíamos ter resolvido o presente problema dessa forma, ao invés de fazer as duas integrações da presente abordagem. Tratamentos nos quais primeiro é feita a procura pela solução estacionária são usualmente adotados em livros-texto. Aqui, achei que seria mais didático fazer duas integrações e obter, naturalmente, as duas constantes arbitrárias.

😎

Música desta postagem: Piano Concerto No. 21 in C Major KV 467 (Andante) de Wolfgang Amadeus Mozart, por Roberto Carnevale, conducting the Amadeus Chamber Orchestra from the keyboard

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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6 respostas para “Oscilações forcadas e amortecidas”

andre washington disse:

13 de outubro de 2010 às 10:33

prof. execelente explicaçao. poderia postar algum exemplo a respeito da soluçao estacionaria ? como eu calculo o w (omega) para obter a oscilaçao maxima ?
obg
Guilhermer Marques disse:

14 de outubro de 2010 às 12:12

Excelente!! Muito bem explicado! Me ajudou muito em uma materia na faculdade… e na prova principalmente!! obrigado.
reginaldo disse:

14 de outubro de 2010 às 14:57

Olá Andre Washington,
Grato deveras pelo seu comentário. Não foi possível, até o momento, colocar mais nada sobre oscilações no Nerdyard porque estou ainda trabalhando em uma postagem sobre expansão de funções em séries de Taylor. No entanto, a solução estacionária é um tópico interessante que talvez eu venha a abordar com exclusividade no futuro e, portanto, grato pela sugestão. Para calcular a frequência $\omega$ em que a amplitude é máxima, você deve tomar a derivada da amplitude de oscilação com relação a $\omega$ e igualar a zero. Resolvendo a equação resultante, você achará a equação para a frequência de oscilação máxima. Experimente!
reginaldo disse:

14 de outubro de 2010 às 14:59

Olá Guilhermer Marques,
Grato deveras pelo seu comentário! Fico muito feliz sabendo que algo que disponibilizo no Nerdyard ajuda pessoas a entenderem mais sobre física! Realmente, é isso que me inspira a continuar colocando essas postagens on-line. Mais uma vez, grato deveras pelo estímulo!
Ítalo disse:

11 de novembro de 2014 às 3:41

Boa explicação!
Existem outros métodos de se resolver este tipo de EDO, mas esta é excelente!
Parabéns!
reginaldo disse:

18 de novembro de 2014 às 11:13

Grato deveras, Ítalo, pelo seu comentário! Fico extremamente feliz que você gostou! Seu estímulo é o combustível do entusiasmo que me compela a produzir essas postagens. Grato deveras, valeu mesmo!

6 respostas para “Oscilações forcadas e amortecidas”

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