Oscilações amortecidas

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Uso de variável complexa para obter a solução harmônica real

A grande vantagem de poder utilizar números complexos para resolver a equação do oscilador harmônico está associada com o fato de que essa equação é linear. Para ver isso, pense que se ${ z}$ é uma variável complexa e

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}z}{dt^{2}} & = & \displaystyle -\omega^{2}z,\end{array}$

sendo ${ \omega}$ uma constante real e positiva, então tanto a parte real de ${ z}$ como a imaginária devem satisfazer a mesma equação. Em outras palavras, se

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z & = & \displaystyle x+iy,\end{array}$

com ${ x}$ e ${ y}$ reais, segue que a validade da equação

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}z}{dt^{2}} & = & \displaystyle -\omega^{2}z\end{array}$

implica em

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}}{dt^{2}}\left(x+iy\right) & = & \displaystyle -\omega^{2}\left(x+iy\right),\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+i\displaystyle\frac{d^{2}y}{dt^{2}} & = & \displaystyle -\omega^{2}x-i\omega^{2}y,\end{array}$

ou seja,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega^{2}x & = & \displaystyle -i\left(\displaystyle\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+\omega^{2}y\right),\end{array}$

que somente pode ser verdadeira quando, simultaneamente,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega^{2}x & = & \displaystyle 0\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+\omega^{2}y & = & \displaystyle 0,\end{array}$

já que, obviamente, um número real não nulo jamais pode ser igual a um número puramente imaginário. Isso quer dizer que podemos encontrar a solução geral da variável complexa e, tomando a parte real ou imaginária dessa solução, obter a solução geral da equação para variável real.

Exemplo: oscilações amortecidas

O oscilador amortecido pode ser pensado como o sistema massa-mola, mas agora com uma força de resistência proporcional e oposta à velocidade. A força, então, pode ser expressa assim:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle F_{x} & = & \displaystyle -kx-\alpha\displaystyle\frac{dx}{dt},\end{array}$

onde ${ \alpha}$ e ${ k}$ são constantes reais positivas. Usando a segunda lei de Newton, ficamos com a equação diferencial do oscilador amortecido:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle m\displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}} & = & \displaystyle -kx-\alpha\displaystyle\frac{dx}{dt}.\end{array}$

Como é costumeiro, vou dividir tudo por ${ m}$ e definir as constantes

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \omega_{0} & = & \displaystyle \sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \gamma & = & \displaystyle \displaystyle\frac{\alpha}{m}.\end{array}$

A equação do oscilador harmônico amortecido fica, portanto,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\gamma\displaystyle\frac{dx}{dt}+\omega_{0}^{2}x & = & \displaystyle 0.\end{array}$

Veja que quando fazemos ${ \gamma=0}$ obtemos a equação do oscilador harmônico simples. O objetivo aqui é exemplificar o método para obter a solução dessa equação da variável real ${ x}$ através do método da variável complexa, como explicado acima.

Ao invés de resolver a equação para ${ x,}$ procuremos pela solução geral da equação

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}z}{dt^{2}}+\gamma\displaystyle\frac{dz}{dt}+\omega_{0}^{2}z & = & \displaystyle 0,\end{array}$

onde ${ z}$ é uma variável complexa, digamos,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z & = & \displaystyle x+iy.\end{array}$

Usar essa variável complexa é um grande negócio, pois a exponencial serve como tentativa. Note que o seno ou o cosseno sozinhos não funcionam, pois há, ao mesmo tempo, a derivada segunda e a derivada primeira com relação a ${ z}$ na equação. Para entender melhor o que acabo de escrever, tentemos uma solução exponencial assim:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z_{e}\left(t\right) & = & \displaystyle A\exp\left(\zeta t\right),\end{array}$

onde ${ A}$ e ${ \zeta}$ são constantes complexas. Facilmente vemos que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{dz_{e}\left(t\right)}{dt} & = & \displaystyle \zeta A\exp\left(\zeta t\right)=\zeta z_{e}\left(t\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}z_{e}\left(t\right)}{dt^{2}} & = & \displaystyle \zeta\displaystyle\frac{dz_{e}\left(t\right)}{dt}=\zeta^{2}z_{e}\left(t\right).\end{array}$

Substituindo essas derivadas na equação diferencial acima, obtemos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}z_{e}\left(t\right)}{dt^{2}}+\gamma\displaystyle\frac{dz_{e}\left(t\right)}{dt}+\omega_{0}^{2}z_{e}\left(t\right) & = & \displaystyle \zeta^{2}z_{e}\left(t\right)+\gamma\zeta z_{e}\left(t\right)+\omega_{0}^{2}z_{e}\left(t\right)=\left(\zeta^{2}+\gamma\zeta+\omega_{0}^{2}\right)z_{e}\left(t\right)=0.\end{array}$

Como queremos encontrar uma solução ${ z_{e}\left(t\right)}$ que não seja identicamente nula, segue que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \zeta^{2}+\gamma\zeta+\omega_{0}^{2} & = & \displaystyle 0.\end{array}$

As soluções para ${ \zeta}$ são dadas pela fórmula de Bhaskara para a equação algébrica quadrática acima:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \zeta_{\pm} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{-\gamma\pm\sqrt{\gamma^{2}-4\omega_{0}^{2}}}{2}=-\displaystyle\frac{\gamma}{2}\pm\displaystyle\frac{\sqrt{\gamma^{2}-4\omega_{0}^{2}}}{2}=-\displaystyle\frac{\gamma}{2}\pm\sqrt{\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}-\omega_{0}^{2}}.\end{array}$

Olhando para esse resultado distinguimos dois casos: quando ${ \gamma\neq2\omega_{0},}$ dando

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \sqrt{\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}-\omega_{0}^{2}} & \neq & 0,\end{array}$

e quando ${ \gamma=2\omega_{0},}$ dando

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \sqrt{\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}-\omega_{0}^{2}} & = & \displaystyle 0.\end{array}$

No primeiro caso, ${ \zeta_{+}}$ é distinto de ${ \zeta_{-},}$ enquanto que, no segundo, ${ \zeta_{+}=\zeta_{-}.}$

Amortecimento supercrítico

Quando ${ \zeta_{+}}$ é distinto de ${ \zeta_{-},}$ segue que a solução geral do problema complexo é dada por

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z\left(t\right) & = & \displaystyle A_{+}\exp\left(\zeta_{+}t\right)+A_{-}\exp\left(\zeta_{-}t\right),\end{array}$

onde ${ A_{+}}$ e ${ A_{-}}$ são duas constantes complexas arbitrárias e independentes. Quando ${ \gamma>2\omega_{0},}$ tanto ${ \zeta_{+}}$ como ${ \zeta_{-}}$ são reais e negativas. Essa situação é conhecida como amortecimento supercrítico. Nesse caso particular,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{Re}\left[z\left(t\right)\right] & = & \displaystyle a_{+}\exp\left(\zeta_{+}t\right)+a_{-}\exp\left(\zeta_{-}t\right),\end{array}$

onde

$\begin{array}{rcl} \displaystyle a_{+} & = & \displaystyle \mathrm{Re}\left(A_{+}\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle a_{-} & = & \displaystyle \mathrm{Re}\left(A_{-}\right).\end{array}$

Conseguimos, então, quando ${ \gamma>2\omega_{0},}$ a solução da equação diferencial para ${ x=\mathrm{Re}\left[z\left(t\right)\right],}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\gamma\displaystyle\frac{dx}{dt}+\omega_{0}^{2}x & = & \displaystyle 0\end{array}$

e o resultado é

$\begin{array}{rcl} \displaystyle x\left(t\right) & = & \displaystyle a_{+}\exp\left(\zeta_{+}t\right)+a_{-}\exp\left(\zeta_{-}t\right),\end{array}$

onde ${ a_{+}}$ e ${ a_{-}}$ são constantes reais arbitrárias e independentes e

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \zeta_{\pm} & = & \displaystyle -\displaystyle\frac{\gamma}{2}\pm\sqrt{\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}-\omega_{0}^{2}}<0.\end{array}$

Amortecimento subcrítico

Agora vamos ver como obter ${ x\left(t\right)}$ quando ${ \gamma<2\omega_{0}.}$ Essa situação é conhecida como amortecimento subcrítico. Nesse caso, escrevemos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \zeta_{\pm} & = & \displaystyle -\displaystyle\frac{\gamma}{2}\pm\sqrt{\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}-\omega_{0}^{2}}=-\displaystyle\frac{\gamma}{2}\pm\sqrt{-\left(\omega_{0}^{2}-\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}\right)},\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \zeta_{\pm} & = & \displaystyle -\displaystyle\frac{\gamma}{2}\pm\sqrt{-1}\sqrt{\omega_{0}^{2}-\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}}=-\displaystyle\frac{\gamma}{2}\pm i\sqrt{\omega_{0}^{2}-\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}}=-\displaystyle\frac{\gamma}{2}\pm i\omega,\end{array}$

onde, por conveniência notacional, definimos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \omega & = & \displaystyle \sqrt{\omega_{0}^{2}-\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}}.\end{array}$

Nesse caso, podemos escrever

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z\left(t\right) & = & \displaystyle A_{+}\exp\left(\zeta_{+}t\right)+A_{-}\exp\left(\zeta_{-}t\right)=\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\left[A_{+}\exp\left(i\omega t\right)+A_{-}\exp\left(-i\omega t\right)\right].\end{array}$

Usando a fórmula de Euler, escrevemos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \exp\left(i\omega t\right) & = & \displaystyle \cos\left(\omega t\right)+i\,\mathrm{sen}\left(\omega t\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \exp\left(-i\omega t\right) & = & \displaystyle \cos\left(\omega t\right)-i\,\mathrm{sen}\left(\omega t\right).\end{array}$

Com isso,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z\left(t\right) & = & \displaystyle \exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\left[\left(A_{+}+A_{-}\right)\cos\left(\omega t\right)+i\left(A_{+}-A_{-}\right)\,\mathrm{sen}\left(\omega t\right)\right].\end{array}$

Para encontrar ${ x\left(t\right),}$ basta tomar a parte real dessa expressão:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{Re}\left[z\left(t\right)\right] & = & \displaystyle \exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\left\{ \mathrm{Re}\left(A_{+}+A_{-}\right)\cos\left(\omega t\right)+\mathrm{Re}\left[i\left(A_{+}-A_{-}\right)\right]\,\mathrm{sen}\left(\omega t\right)\right\} .\end{array}$

É claro que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{Re}\left[i\left(A_{+}-A_{-}\right)\right] & = & \displaystyle -\mathrm{Im}\left(A_{+}-A_{-}\right).\end{array}$

Então, definindo as constantes reais ${ c_{1}}$ e ${ c_{2}}$ como

$\begin{array}{rcl} \displaystyle c_{1} & = & \displaystyle \mathrm{Re}\left(A_{+}+A_{-}\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle c_{2} & = & \displaystyle -\mathrm{Im}\left(A_{+}-A_{-}\right),\end{array}$

obtemos a solução para ${ x\left(t\right)}$ quando ${ \gamma<2\omega_{0}:}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle x\left(t\right) & = & \displaystyle \exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\left[c_{1}\cos\left(\omega t\right)+c_{2}\,\mathrm{sen}\left(\omega t\right)\right],\end{array}$

onde ${ c_{1}}$ e ${ c_{2}}$ são constantes reais arbitrárias e independentes.

Amortecimento crítico

A situação em que ${ \gamma=2\omega_{0},}$ implicando que ${ \zeta_{+}=\zeta_{-},}$ é conhecida como amortecimento crítico. Agora, diferentemente dos casos tratados acima, quando ${ \zeta_{+}=\zeta_{-},}$ ficamos apenas com uma só constante arbitrária:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z_{0}\left(t\right) & = & \displaystyle A_{0}\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right),\end{array}$

onde ${ A_{0}}$ é uma constante complexa arbitrária. Cadê a outra constante? Afinal, o problema é encontrar a solução geral de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem e, portanto, precisamos de uma solução com duas constantes complexas arbitrárias e independentes. Consideremos, então, a equação diferencial para o problema quando ${ \gamma=2\omega_{0}:}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}z\left(t\right)}{dt^{2}}+\gamma\displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}+\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}z\left(t\right) & = & \displaystyle 0.\end{array}$

Essa mesma equação pode ser escrita assim:

Para ver isso, note que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}+\displaystyle\frac{\gamma}{2}z\left(t\right)\right)+\displaystyle\frac{\gamma}{2}\left(\displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}+\displaystyle\frac{\gamma}{2}z\left(t\right)\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{d^{2}z\left(t\right)}{dt^{2}}+\gamma\displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}+\displaystyle\frac{\gamma^{2}}{4}z\left(t\right),\end{array}$

que dá zero, pois, como sabemos,

Olhe para a equação:

Seja a nova função complexa

$\begin{array}{rcl} \displaystyle f\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}+\displaystyle\frac{\gamma}{2}z\left(t\right).\end{array}$

Então, a equação acima pode ser escrita, em termos de ${ f\left(t\right),}$ como

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{df\left(t\right)}{dt}+\displaystyle\frac{\gamma}{2}f\left(t\right) & = & \displaystyle 0.\end{array}$

Essa equação para ${ f\left(t\right)}$ é de primeira ordem e, portanto, sua solução terá apenas uma constante arbitrária. O resultado é fácil:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle f\left(t\right) & = & \displaystyle B\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right),\end{array}$

onde ${ B}$ é uma constante complexa arbitrária. Que essa é a solução da equação para ${ f\left(t\right)}$ é óbvio, pois

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{df\left(t\right)}{dt} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{d}{dt}\left[B\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\right]=-\displaystyle\frac{\gamma}{2}B\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)=-\displaystyle\frac{\gamma}{2}f\left(t\right)\end{array}$

e, portanto,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{df\left(t\right)}{dt}+\displaystyle\frac{\gamma}{2}f\left(t\right) & = & \displaystyle -\displaystyle\frac{\gamma}{2}f\left(t\right)+\displaystyle\frac{\gamma}{2}f\left(t\right)=0.\end{array}$

Note que definimos ${ f\left(t\right)}$ em termos de ${ z\left(t\right)}$ e de sua primeira derivada, isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle f\left(t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}+\displaystyle\frac{\gamma}{2}z\left(t\right).\end{array}$

Mas essa equação pode ser pensada como uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para ${ z\left(t\right):}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}+\displaystyle\frac{\gamma}{2}z\left(t\right) & = & \displaystyle f\left(t\right),\end{array}$

isto é, substituindo a solução para ${ f\left(t\right),}$ vem

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}+\displaystyle\frac{\gamma}{2}z\left(t\right) & = & \displaystyle B\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right).\end{array}$

Se você olhar firmemente para essa equação por um tempo suficiente, verá que também é possível escrevê-la assim:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \exp\left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}+\displaystyle\frac{\gamma}{2}\exp\left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)z\left(t\right) & = & \displaystyle B.\end{array}$

Nesse ponto, imediatamente você perceberá que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{\gamma}{2}\exp\left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{d}{dt}\exp\left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\end{array}$

e, portanto, a equação diferencial acima fica

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \exp\left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}+z\left(t\right)\displaystyle\frac{d}{dt}\exp\left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right) & = & \displaystyle B.\end{array}$

Mas o membro esquerdo dessa equação nada mais é do que a derivada do produto de duas funções, isto é, essa equação pode ser escrita como

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d}{dt}\left[z\left(t\right)\exp\left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right)\right] & = & \displaystyle B.\end{array}$

É ou não é verdade? Integrando ambos os membros dessa última equação, vem

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z\left(t\right)\exp\left(\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right) & = & \displaystyle Bt+C,\end{array}$

onde ${ C}$ é outra constante complexa arbitrária. Encontramos, assim, para o caso em que ${ \gamma=2\omega_{0},}$ a solução geral da equação do oscilador harmônico amortecido:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle z\left(t\right) & = & \displaystyle \left(Bt+C\right)\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right),\end{array}$

onde ${ B}$ e ${ C}$ são constantes complexas arbitrárias e independentes. De maneira análoga aos casos tratados acima, podemos encontrar a solução para ${ x\left(t\right)}$ tomando a parte real de ${ z\left(t\right)}$ e obtemos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{Re}\left[z\left(t\right)\right] & = & \displaystyle \left[\mathrm{Re}\left(B\right)t+\mathrm{Re}\left(C\right)\right]\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right).\end{array}$

Portanto, no caso particular em que ${ \gamma=2\omega_{0},}$ definindo

$\begin{array}{rcl} \displaystyle b & = & \displaystyle \mathrm{Re}\left(B\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle c & = & \displaystyle \mathrm{Re}\left(C\right)\end{array}$

e tomando ${ x\left(t\right)=\mathrm{Re}\left[z\left(t\right)\right],}$ vem

$\begin{array}{rcl} \displaystyle x\left(t\right) & = & \displaystyle \left(bt+c\right)\exp\left(-\displaystyle\frac{\gamma}{2}t\right),\end{array}$

onde ${ b}$ e ${ c}$ são constantes reais arbitrárias e independentes. Ufa! Que postagem longa! 😯 Espero que você tenha acompanhado todos os argumentos. 😎

😎

Música desta postagem: Salut d’Amour de Edward Elgar, por Felipe Sarro

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4 respostas para “Oscilações amortecidas”

Victor disse:

25 de novembro de 2012 às 0:46

Grande Reginaldo, eventualmente tive que resolver alguns circuitos e acabei lembrando do Nerdyard, ajuda bastante! Continue com o bom trabalho! Abraços
reginaldo disse:

13 de dezembro de 2012 às 11:13

Olá Victor, o aprovado,
Grato deveras por ter lembrado do Nerdyard! Grato deveras pelo elogio e pelo estímulo! Valeu mesmo!
paulo disse:

30 de Março de 2014 às 15:44

uau, conheci esse site hoje, tem um material muito interessante, estou estudando pro vestibulares ime/ita e tem muita coisa boa aqui… parabens pelo ótimo trabalho =)
reginaldo disse:

8 de Abril de 2014 às 14:39

Olá Paulo,
Grato deveras pelo seu comentário elogioso. É minha recompensa por manter este blog que você possa estar encontrando utilidade nas minhas postagens. Boa sorte no vestibular! Mais uma vez, grato deveras!

4 respostas para “Oscilações amortecidas”

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