Oscilações amortecidas

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Uso de variável complexa para obter a solução harmônica real

A grande vantagem de poder utilizar números complexos para resolver a equação do oscilador harmônico está associada com o fato de que essa equação é linear. Para ver isso, pense que se é uma variável complexa e

sendo uma constante real e positiva, então tanto a parte real de como a imaginária devem satisfazer a mesma equação. Em outras palavras, se

com e reais, segue que a validade da equação

implica em

isto é,

ou seja,

que somente pode ser verdadeira quando, simultaneamente,

e

já que, obviamente, um número real não nulo jamais pode ser igual a um número puramente imaginário. Isso quer dizer que podemos encontrar a solução geral da variável complexa e, tomando a parte real ou imaginária dessa solução, obter a solução geral da equação para variável real.

Exemplo: oscilações amortecidas

O oscilador amortecido pode ser pensado como o sistema massa-mola, mas agora com uma força de resistência proporcional e oposta à velocidade. A força, então, pode ser expressa assim:

onde e são constantes reais positivas. Usando a segunda lei de Newton, ficamos com a equação diferencial do oscilador amortecido:

Como é costumeiro, vou dividir tudo por e definir as constantes

e

A equação do oscilador harmônico amortecido fica, portanto,

Veja que quando fazemos obtemos a equação do oscilador harmônico simples. O objetivo aqui é exemplificar o método para obter a solução dessa equação da variável real através do método da variável complexa, como explicado acima.

Ao invés de resolver a equação para procuremos pela solução geral da equação

onde é uma variável complexa, digamos,

Usar essa variável complexa é um grande negócio, pois a exponencial serve como tentativa. Note que o seno ou o cosseno sozinhos não funcionam, pois há, ao mesmo tempo, a derivada segunda e a derivada primeira com relação a na equação. Para entender melhor o que acabo de escrever, tentemos uma solução exponencial assim:

onde e são constantes complexas. Facilmente vemos que

e

Substituindo essas derivadas na equação diferencial acima, obtemos

Como queremos encontrar uma solução que não seja identicamente nula, segue que

As soluções para são dadas pela fórmula de Bhaskara para a equação algébrica quadrática acima:

Olhando para esse resultado distinguimos dois casos: quando dando

e quando dando

No primeiro caso, é distinto de enquanto que, no segundo,

Amortecimento supercrítico

Quando é distinto de segue que a solução geral do problema complexo é dada por

onde e são duas constantes complexas arbitrárias e independentes. Quando tanto como são reais e negativas. Essa situação é conhecida como amortecimento supercrítico. Nesse caso particular,

onde

e

Conseguimos, então, quando a solução da equação diferencial para

e o resultado é

onde e são constantes reais arbitrárias e independentes e

Amortecimento subcrítico

Agora vamos ver como obter quando Essa situação é conhecida como amortecimento subcrítico. Nesse caso, escrevemos

isto é,

onde, por conveniência notacional, definimos

Nesse caso, podemos escrever

Usando a fórmula de Euler, escrevemos

e

Com isso,

Para encontrar basta tomar a parte real dessa expressão:

É claro que

Então, definindo as constantes reais e como

e

obtemos a solução para quando

onde e são constantes reais arbitrárias e independentes.

Amortecimento crítico

A situação em que implicando que é conhecida como amortecimento crítico. Agora, diferentemente dos casos tratados acima, quando ficamos apenas com uma só constante arbitrária:

onde é uma constante complexa arbitrária. Cadê a outra constante? Afinal, o problema é encontrar a solução geral de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem e, portanto, precisamos de uma solução com duas constantes complexas arbitrárias e independentes. Consideremos, então, a equação diferencial para o problema quando

Essa mesma equação pode ser escrita assim:

Para ver isso, note que

que dá zero, pois, como sabemos,

Olhe para a equação:

Seja a nova função complexa

Então, a equação acima pode ser escrita, em termos de como

Essa equação para é de primeira ordem e, portanto, sua solução terá apenas uma constante arbitrária. O resultado é fácil:

onde é uma constante complexa arbitrária. Que essa é a solução da equação para é óbvio, pois

e, portanto,

Note que definimos em termos de e de sua primeira derivada, isto é,

Mas essa equação pode ser pensada como uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para

isto é, substituindo a solução para vem

Se você olhar firmemente para essa equação por um tempo suficiente, verá que também é possível escrevê-la assim:

Nesse ponto, imediatamente você perceberá que

e, portanto, a equação diferencial acima fica

Mas o membro esquerdo dessa equação nada mais é do que a derivada do produto de duas funções, isto é, essa equação pode ser escrita como

É ou não é verdade? Integrando ambos os membros dessa última equação, vem

onde é outra constante complexa arbitrária. Encontramos, assim, para o caso em que a solução geral da equação do oscilador harmônico amortecido:

onde e são constantes complexas arbitrárias e independentes. De maneira análoga aos casos tratados acima, podemos encontrar a solução para tomando a parte real de e obtemos

Portanto, no caso particular em que definindo

e

e tomando vem

onde e são constantes reais arbitrárias e independentes. Ufa! Que postagem longa! 😯 Espero que você tenha acompanhado todos os argumentos. 😎

😎

Música desta postagem: Salut d’Amour de Edward Elgar, por Felipe Sarro

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4 respostas para “Oscilações amortecidas”

  1. Grande Reginaldo, eventualmente tive que resolver alguns circuitos e acabei lembrando do Nerdyard, ajuda bastante! Continue com o bom trabalho! Abraços

  2. Olá Victor, o aprovado,
    Grato deveras por ter lembrado do Nerdyard! Grato deveras pelo elogio e pelo estímulo! Valeu mesmo!

  3. uau, conheci esse site hoje, tem um material muito interessante, estou estudando pro vestibulares ime/ita e tem muita coisa boa aqui… parabens pelo ótimo trabalho =)

  4. Olá Paulo,
    Grato deveras pelo seu comentário elogioso. É minha recompensa por manter este blog que você possa estar encontrando utilidade nas minhas postagens. Boa sorte no vestibular! Mais uma vez, grato deveras!

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