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Uso de variável complexa para obter a solução harmônica real
A grande vantagem de poder utilizar números complexos para resolver a equação do oscilador harmônico está associada com o fato de que essa equação é linear. Para ver isso, pense que se é uma variável complexa e
sendo uma constante real e positiva, então tanto a parte real de
como a imaginária devem satisfazer a mesma equação. Em outras palavras, se
com e
reais, segue que a validade da equação
implica em
isto é,
ou seja,
que somente pode ser verdadeira quando, simultaneamente,
e
já que, obviamente, um número real não nulo jamais pode ser igual a um número puramente imaginário. Isso quer dizer que podemos encontrar a solução geral da variável complexa e, tomando a parte real ou imaginária dessa solução, obter a solução geral da equação para variável real.
Exemplo: oscilações amortecidas
O oscilador amortecido pode ser pensado como o sistema massa-mola, mas agora com uma força de resistência proporcional e oposta à velocidade. A força, então, pode ser expressa assim:
onde e
são constantes reais positivas. Usando a segunda lei de Newton, ficamos com a equação diferencial do oscilador amortecido:
Como é costumeiro, vou dividir tudo por e definir as constantes
e
A equação do oscilador harmônico amortecido fica, portanto,
Veja que quando fazemos obtemos a equação do oscilador harmônico simples. O objetivo aqui é exemplificar o método para obter a solução dessa equação da variável real
através do método da variável complexa, como explicado acima.
Ao invés de resolver a equação para procuremos pela solução geral da equação
onde é uma variável complexa, digamos,
Usar essa variável complexa é um grande negócio, pois a exponencial serve como tentativa. Note que o seno ou o cosseno sozinhos não funcionam, pois há, ao mesmo tempo, a derivada segunda e a derivada primeira com relação a na equação. Para entender melhor o que acabo de escrever, tentemos uma solução exponencial assim:
onde e
são constantes complexas. Facilmente vemos que
e
Substituindo essas derivadas na equação diferencial acima, obtemos
Como queremos encontrar uma solução que não seja identicamente nula, segue que
As soluções para são dadas pela fórmula de Bhaskara para a equação algébrica quadrática acima:
Olhando para esse resultado distinguimos dois casos: quando dando
e quando dando
No primeiro caso, é distinto de
enquanto que, no segundo,
Amortecimento supercrítico
Quando é distinto de
segue que a solução geral do problema complexo é dada por
onde e
são duas constantes complexas arbitrárias e independentes. Quando
tanto
como
são reais e negativas. Essa situação é conhecida como amortecimento supercrítico. Nesse caso particular,
onde
e
Conseguimos, então, quando a solução da equação diferencial para
e o resultado é
onde e
são constantes reais arbitrárias e independentes e
Amortecimento subcrítico
Agora vamos ver como obter quando
Essa situação é conhecida como amortecimento subcrítico. Nesse caso, escrevemos
isto é,
onde, por conveniência notacional, definimos
Nesse caso, podemos escrever
Usando a fórmula de Euler, escrevemos
e
Com isso,
Para encontrar basta tomar a parte real dessa expressão:
É claro que
Então, definindo as constantes reais e
como
e
obtemos a solução para quando
onde e
são constantes reais arbitrárias e independentes.
Amortecimento crítico
A situação em que implicando que
é conhecida como amortecimento crítico. Agora, diferentemente dos casos tratados acima, quando
ficamos apenas com uma só constante arbitrária:
onde é uma constante complexa arbitrária. Cadê a outra constante? Afinal, o problema é encontrar a solução geral de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem e, portanto, precisamos de uma solução com duas constantes complexas arbitrárias e independentes. Consideremos, então, a equação diferencial para o problema quando
Essa mesma equação pode ser escrita assim:
Para ver isso, note que
que dá zero, pois, como sabemos,
Olhe para a equação:
Seja a nova função complexa
Então, a equação acima pode ser escrita, em termos de como
Essa equação para é de primeira ordem e, portanto, sua solução terá apenas uma constante arbitrária. O resultado é fácil:
onde é uma constante complexa arbitrária. Que essa é a solução da equação para
é óbvio, pois
e, portanto,
Note que definimos em termos de
e de sua primeira derivada, isto é,
Mas essa equação pode ser pensada como uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para
isto é, substituindo a solução para vem
Se você olhar firmemente para essa equação por um tempo suficiente, verá que também é possível escrevê-la assim:
Nesse ponto, imediatamente você perceberá que
e, portanto, a equação diferencial acima fica
Mas o membro esquerdo dessa equação nada mais é do que a derivada do produto de duas funções, isto é, essa equação pode ser escrita como
É ou não é verdade? Integrando ambos os membros dessa última equação, vem
onde é outra constante complexa arbitrária. Encontramos, assim, para o caso em que
a solução geral da equação do oscilador harmônico amortecido:
onde e
são constantes complexas arbitrárias e independentes. De maneira análoga aos casos tratados acima, podemos encontrar a solução para
tomando a parte real de
e obtemos
Portanto, no caso particular em que definindo
e
e tomando vem
onde e
são constantes reais arbitrárias e independentes. Ufa! Que postagem longa! 😯 Espero que você tenha acompanhado todos os argumentos. 😎
😎
Música desta postagem: Salut d’Amour de Edward Elgar, por Felipe Sarro
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Grande Reginaldo, eventualmente tive que resolver alguns circuitos e acabei lembrando do Nerdyard, ajuda bastante! Continue com o bom trabalho! Abraços
Olá Victor, o aprovado,
Grato deveras por ter lembrado do Nerdyard! Grato deveras pelo elogio e pelo estímulo! Valeu mesmo!
uau, conheci esse site hoje, tem um material muito interessante, estou estudando pro vestibulares ime/ita e tem muita coisa boa aqui… parabens pelo ótimo trabalho =)
Olá Paulo,
Grato deveras pelo seu comentário elogioso. É minha recompensa por manter este blog que você possa estar encontrando utilidade nas minhas postagens. Boa sorte no vestibular! Mais uma vez, grato deveras!