Os símbolos de Christoffel

Recentemente, revendo relatividade geral, pois preciso ver de diversos pontos de vista o problema de curvas fechadas do tipo tempo, deparei-me com os chamados símbolos de Christoffel. Eles são necessários para calcular o tensor de Riemann, que é necessário para escrever as equações de Einstein. Mas essa é outra história. O que pretendo aqui é apresentar uma maneira rápida de fazer surgir os símbolos de Christoffel. Basta que abordemos a equação da curva geodésica em um espaço que tem uma métrica de componentes Para facilitar os cálculos, vou já usar a equação de Euler e Lagrange:

onde é a função lagrangeana e

onde é o parâmetro da curva. Como ação, temos o comprimento entre dois pontos fixos da curva que queremos encontrar entre esses pontos, mas que seja a mais curta (a geodésica), ou que extremize a ação. Então, para essa ação, a lagrangeana deve ser tomada como o elemento de caminho ao longo da curva parametrizada por Portanto, usando

obtemos a ação:

e, assim, da Eq. (4) vemos que a lagrangeana para este problema deve ser tomada como sendo

onde estou usando a notação da Eq. (2). Substituindo a Eq. (5) na Eq. (1), obtemos:

isto é,

onde estamos usando a notação:

Para simplificar as coisas, vamos usar uma parametrização afim, escolhendo

onde é uma constante (não é por acaso que estou usando o mesmo símbolo que o da magnitude da velocidade da luz no vácuo!). Nesse caso, sobre a curva, vemos das Eqs. (2) e (5) que

onde usamos a Eq. (3). Com o resultado da Eq. (9), a Eq. (6) fica:

Mas,

onde usamos a simetria da métrica,

e

com as notações das Eqs. (2) e (7). Note também que

Substituindo a Eq. (11) na Eq. (10), obtemos a equação da geodésica:

ou seja,

Como

já levando em conta a Eq. (12), podemos reescrever a Eq. (15) assim:

onde os símbolos de Christoffel são definidos como:

Pronto!

😎

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4 Comments for Os símbolos de Christoffel

  1. Iberê said,

    junho 22, 2015 @ 17:55

    Olá Reginaldo, parabéns pelo post, geodésicas são muito importantes para a física em geral. Eu apenas gostaria de fazer alguns comentários. Primeiro de tudo, é importante lembrar que essa dedução e, portanto, a definição dos símbolos de Christoffel da Equação 18 só é válida para conexões de Levi-Civitta, que são conexões sem torção. Em teorias com spin, como a de Einstein-Cartan, torção representa o spin e por isso a definição 18 deixa de ser verdadeira. Outra coisa, uma geodésica é por definição parametrizada por um parâmetro afim (sim, o comportamento geodésico depende do parâmetro). Curvas que são transformadas em geodésicas através de uma mudança de parâmetros são chamadas de pré-geodésicas.

  2. reginaldo said,

    junho 23, 2015 @ 9:49

    Olá Iberê! Grato deveras pelos seus comentários! É bom ter uma complementação sobre as coisas que publico no Nerdyard e você contribuiu lindamente! Valeu!

  3. Luiz said,

    junho 23, 2015 @ 13:01

    Professor, ótimo post!

    Fazia tempo que a página não era atualizada.

    Abraços

  4. reginaldo said,

    junho 24, 2015 @ 9:28

    Olá Luiz,
    Grato deveras pelo seu comentário elogioso! Fico feliz que você gostou! Concordo: fazia tempo que eu não postava coisa alguma… Mas, com seu estímulo, fico mais animado! Valeu e abraços!

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