Os potenciais de Liénard-Wiechert

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Vou introduzir os cálculos dos potenciais de LiénardWiechert, escalar e vetorial, de uma partícula carregada executando um movimento com trajetória dada. Como queremos os campos causados pela partícula, utilizamos as soluções retardadas dos potenciais no calibre de Lorentz:

ou, no MKS,

e

ou, no MKS,

Para uma carga descrevendo uma trajetória temos

e

para quaisquer e onde

Assim, o potencial escalar, por exemplo, fica

ou, no MKS,

O problema é integrarmos

Para tal proeza, há um truque: é óbvio que a integral acima pode ser escrita como

e, portanto, integrando sobre a variável obtemos

A seguir, tomamos como fixos e e introduzimos a função

Portanto, temos a seguinte integral para calcular:

Das propriedades da função delta de Dirac, podemos escrever

onde os são os instantes de tempo em que Em outras palavras, queremos os instantes de tempo tais que

O fato é que só há um instante de tempo para essa relação valer. Para vermos isso, suponhamos que existam dois instantes, e com tais que

e

Sem perda de generalidade, suponhamos que Logo,

Mas,

Assim,

implicando que a partícula deveria ir de até com uma velocidade média maior ou igual à velocidade da luz no vácuo. Como, por hipótese, estamos considerando uma partícula massiva, de massa concluímos que há, no máximo, um instante de tempo em que a equação

vale e definimos esse instante como o tempo retardado:

O resultado da integral acima pode ser escrito em termos do tempo retardado como

Calculemos, explicitamente, a derivada temporal da função

Notemos que

Portanto,

Como temos

e os potenciais podem ser escritos como

ou, no MKS,

e, analogamente,

ou, no MKS,

onde

Esses são os chamados potenciais de Liénard-Wiechert. Para simplificar a notação, definamos

 

 

 

e

Com essas definições, podemos simplificar as expressões dos potenciais assim:

ou, no MKS,

e

ou, no MKS,

com

Calculando o Campo Indução Magnética e o Campo Elétrico

Vamos agora calcular os campos e . Comecemos com o cálculo de

ou, em termos de componentes,

onde é o tensor de Levi-Civita, que é dado por

Também utilizemos a notação

para . A convenção de Einstein para somas permite que escrevamos

onde subentendemos que os índices e estão somados de a , porque aparecem repetidos no mesmo termo. Temos, assim,

ou, no MKS,

Também,

Façamos agora o cálculo de :

ou seja,

resultando em

Portanto,

 

e

onde denotamos

e

Assim,

ou, no MKS,

Substituindo as derivadas parciais, temos

ou, no MKS,

onde

Em termos vetoriais, podemos escrever

ou, no MKS,

onde o termo proporcional a se anula. Podemos ainda escrever

ou, no MKS,

onde adicionamos um termo proporcional a entre colchetes, que não contribui para , pois é multiplicado vetorialmente pelo que aparece fora dos colchetes. Notamos agora que

Logo,

ou, no MKS,

De maneira análoga, calculamos o campo elétrico e obtemos

ou, no MKS,

e, portanto,

ou, no MKS,

😎

Música desta postagem: Piano Sonata in A major D.664 (Andante) de Franz Schubert, por Tom Pascale

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

Uma versão em PDF no CGS
Uma versão em PDF no MKS

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5 Comments for Os potenciais de Liénard-Wiechert

  1. » Campos de cargas em movimento | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    maio 13, 2010 @ 9:04

    […] os potenciais de Liénard-Wiechert, vimos que os campos para uma carga em movimento arbitrário são dados […]

  2. » Emissão de energia por uma partícula carregada em movimento arbitrário | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    maio 26, 2010 @ 12:40

    […] Vamos calcular a potência irradiada por uma partícula em movimento arbitrário. Os campos de radiação, e produzidos por uma carga que descreve uma trajetória arbitrária são deduzidos a partir dos potenciais de Liénard-Wiechert: […]

  3. » Emissão de momentum por uma partícula carregada em movimento arbitrário | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    maio 31, 2010 @ 11:12

    […] Uma partícula carregada acelerada não irradia apenas energia, pois também emite momentum linear e momentum angular. Aqui vamos analisar a emissão de momentum linear por uma partícula de carga executando um movimento arbitrário. Os campos de radiação, e produzidos por uma carga que descreve uma trajetória arbitrária são deduzidos a partir dos potenciais de Liénard-Wiechert: […]

  4. » Emissão de momentum angular por uma partícula carregada em movimento arbitrário | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    junho 2, 2010 @ 15:45

    […] Os campos e produzidos por uma carga que descreve uma trajetória arbitrária são deduzidos a partir dos potenciais de Liénard-Wiechert: […]

  5. » A Reação da Radiação | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    junho 9, 2010 @ 15:03

    […] produzido por um elemento de carga que descreve uma trajetória é deduzido a partir dos potenciais de Liénard-Wiechert e o resultado […]

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