Ondas planas em meios não condutores, lineares, homogêneos e isotrópicos

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As equações de Maxwell macoscópicas para um meio não condutor, linear, homogêneo e isotrópico são escritas como

e

Considerando uma região do meio com e , podemos proceder analogamente ao caso do vácuo e obter as equações de onda para os campos elétrico e indução magnética:

e

Há campos e que satisfazem essas equações? Para responder a essa questão, consideremos inicialmente somente a componente de :

É óbvio que podemos escrever a identidade

Uma representação para a função delta de Dirac é

Assim,

onde

Aplicando o operador

à expressão acima para

Logo,

A solução geral dessa equação pode ser escrita como:

onde e são funções arbitrárias de . Assim, a solução geral para é dada por

Como é uma grandeza real, devemos ter

isto é,

Trocando a variável de integração por no primeiro membro dessa equação fornece

e, portanto, independência linear entre as funções exponenciais complexas implica em

e

Em particular, podemos escrever

Assim, a forma geral de pode ser escrita como

e, portanto,

As funções escalares

satisfazem a equação de onda para todo . Dessa forma, definimos

como as funções vetoriais que formam a base funcional para os campos. Essas funções representam ondas planas, pois, em uma frente de onda, o valor de fica fixo e isso ocorre somente quando

é constante, resultando em uma equação do plano:

onde é uma constante.

Aqui, vamos sempre utilizar as funções de onda plana complexas, como acima. Os campos devem ser obtidos tomando as partes reais das combinações lineares de ondas complexas. Por exemplo, escrevemos

com real e . O campo elétrico associado é

E o campo ? Isto é, supondo dado um campo elétrico cuja representação complexa seja

como podemos encontrar o campo ? Primeiro, escrevemos

onde é a onda plana magnética dada por

já que tanto como satisfazem a mesma equação de onda. Com as equações de Maxwell na ausência de fontes, fica óbvio que

pois as equações que acoplam e devem ser satisfeitas em todo ponto do espaço e em todo instante de tempo. Portanto, calculemos:

e

onde, como é usual, definimos

Utilizando a Lei de Indução de Faraday, obtemos

Analogamente, a Lei de Ampère-Maxwell na ausência de corrente livre fornece

ou seja,

Assim, vemos que tanto como são ortogonais ao vetor de onda e entre si. É desnecessário dizer que essa mesma conclusão vale para suas respectivas partes reais, e .

Na ausência de cargas livres, a Lei de Gauss dá

mais uma vez levando à conclusão de que é ortogonal a . O mesmo vale para o divergente de :

A polarização da luz

Se tivermos, por exemplo,

teremos luz polarizada. Se , teremos polarização circular. Se , a polarização é dita elíptica. Para vermos porque isso acontece, tomemos a parte real da onda plana acima:

No plano , com constante, o vetor campo elétrico descreve uma elipse conforme o tempo passa; a elipse é uma circunferência se .

😎

Música desta postagem: Ballade no.2 in B minor de Franz Liszt, por Avguste Antonov

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2 Comments for Ondas planas em meios não condutores, lineares, homogêneos e isotrópicos

  1. » O índice de refração de meios dielétricos | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 16, 2010 @ 11:17

    […] entre os valores absolutos da velocidade da luz no vácuo, , e da velocidade da luz no meio, . As equações de onda para os campos e em um dielétrico assim […]

  2. » O modelo harmônico de Drude-Lorentz | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 18, 2010 @ 9:46

    […] como para uma onda plana, por […]

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