Ondas planas em meios condutores

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Em meios lineares, isotrópicos, homogêneos e ôhmicos com condutividade , temos

Vamos considerar que uma onda plana incida normalmente sobre uma interface entre um meio dielétrico e um meio condutor, adentrando o meio condutor.

sky is cracking
Creative Commons License photo credit: kainet

Para o presente objetivo, vamos apenas considerar a propagação da onda transmitida no interior do meio condutor. Supondo que a interface coincida com o plano e que o meio condutor tenha coordenadas , o vetor de onda no meio dielétrico tem o sentido do versor . Considerando a isotropia dos dois meios, esperamos que a onda que penetra o meio condutor continue a se propagar ao longo do mesmo sentido e direção que a onda incidente, de modo que, dentro do material condutor, escrevemos

Com essa hipótese, adotamos o seguinte ansatz para os campos e :

e

onde é uma frequência que supomos dada. Segue da Lei de Indução de Faraday que

Ao mesmo tempo, também segue da Lei de Ampère-Maxwell,

que

ou seja,

Logo,

Assim, usando a equação obtida anteriormente, isto é,

na expressão logo acima para , obtemos

Temos, portanto,

ou seja,

ou, simplificando,

Logo, é um número complexo e, como tal, podemos escrever

onde

e

Escrevamos:

Então, devemos ter

e

Substituindo da segunda dessas equações na primeira, resulta na equação

A solução para essa equação é dada por

já que . Como estamos supondo que a onda transmitida se propaga na direção positiva do eixo , obtemos

Dessa solução para e da equação

obtemos

Notemos que a onda é evanescente, pois

com

quando . Isso significa que uma onda eletromagnética penetra apenas até um certo ponto em um meio condutor, sendo que essa profundidade de penetração, chamada de “skin depth”, é dada por

O fluxo de energia médio no meio condutor é dado pelo vetor de Poynting médio:

Assim, a energia da onda diminui à medida que penetra no condutor. Também é interessante notarmos que se a condutividade for muito grande, a penetração será muito pequena e, portanto, para um condutor ideal, a onda incidente será totalmente refletida.

Também podemos calcular a densidade de energia eletromagnética média dentro do material condutor. Então,

Notemos que

Logo,

Dessa expressão e da equação para o fluxo médio de energia, isto é,

segue que

ou seja,

Como a onda que se propaga no interior do condutor é proporcional à exponencial

vemos que a velocidade de propagação da onda no meio condutor, , é ao longo do versor e de módulo , ou seja,

e, portanto, o fluxo de energia eletromagnética, em cada , é dado por

em analogia com

para densidades de carga e corrente.

😎

Música desta postagem: In Smyrna de Edward Elgar, por Felipe Sarro

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