O teorema de Stokes

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Ao estudar eletromagnetismo também é desejável sermos eficientes no apendizado, pois um curso de graduação não dura mais do que uns quatro ou cinco anos. 🙂 Por isso, uma linguagem própria para podermos entender a natureza dos fenômenos eletromagnéticos é muito necessária. Essa linguagem envolve cálculo vetorial, pois é natural à fenomelogia eletromagnética. O teorema da divergência de Gauss e o teorema de Stokes são peças essenciais para desenvolvermos um diálogo sensato com os fenômenos eletromagnéticos. A formulação do teorema da divergência de Gauss já foi apresentada em outra postagem de uma maneira intuitiva e geométrica. Agora, exponho, seguindo a mesma didática, o teorema de Stokes. 😎

Com a linguagem matemática adequada, o teorema de Stokes pode ser expresso de uma maneira muito sucinta:

Primeiro, região plana

Aqui vamos começar considerando uma região plana, , contida no plano , compacta e convexa. Se escolhermos o sistema de coordenadas adequadamente, podemos descrever a curva , fronteira de , por duas funções de : , com , ou duas funções de : , com .

O elemento de caminho, , no plano , é dado por:

Assim, temos:

Escolhendo a normal de como o versor , calculamos as integrais:

Agora, calculamos o segundo membro do teorema de Stokes acima:

Isso demonstra o teorema nesse caso simples. No entanto, se a região plana, , não for convexa, mas ainda for compacta, basta notarmos que pode ser feita uma partição de com elementos de área convexos e aplicarmos o teorema acima a cada elemento:

Como os elementos de caminho, , de um elemento de área anula o elemento de caminho, no mesmo ponto, do elemento de área adjacente, então o resultado da soma do segundo membro resulta na integral sobre a fronteira de toda a região . Isso demonstra o teorema para o caso de uma região plana compacta qualquer. Se a região não for compacta, cada sub-região componente da região total é disjunta das demais, resultando que o teorema vale para cada uma dessas sub-regiões. Podemos, então, somar as equações membro a membro e obter o resultado de Stokes para qualquer região plana.

Agora, uma região qualquer

Veja alguns exemplos neste link. Já provamos que essa igualdade vale para qualquer superfície plana. Para provar que o teorema vale para qualquer superfície, devemos implementar uma “cobertura” aproximada de com pequenos elementos planos, tangentes à superfície . A “cobertura”, no limite em que o número de elementos planos tender a infinito, passa a ser indistinta de . Assim,

Como cada elemento é plano, vale o teorema acima e temos:

No entanto, cada fronteira de é uma curva fechada plana, cuja circuitação é anulada pelas fronteiras dos elementos adjacentes a ela, exceto quando algum de seus segmentos coincidir com parte de , a fronteira, em geral não plana, de . Assim, no limite acima, a soma das circuitações coincide com a circuitação ao longo de :

e o teorema fica demonstrado para arbitrária. Note que a integral de superfície que aparece no teorema de Stokes tem o mesmo valor para toda superfície que possua a mesma fronteira. Legal, não acha? 😎

Espero que você tenha entendido essa demonstração geometricamente plausível, que apela à sua intuição. Com esse teorema e o de Gauss, você já tem a maior parte do alicerce que vai permitir sua compreenção das asserções acerca dos fatos eletromagnéticos. 🙂 Divirta-se! 😎

Música desta postagem: Waltz Op.34 (Waltz no.2 in A minor) de Frederic Chopin, por Harald Vetter

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2 Comments for O teorema de Stokes

  1. Renan said,

    junho 25, 2012 @ 23:13

    Ótima postagem, cara. Excelente.

  2. reginaldo said,

    junho 27, 2012 @ 17:01

    Olá Renan,
    Grato deveras pelo comentário e pelo elogio! Valeu mesmo! Fico feliz em poder ajudar!

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