O teorema de Huygens-Steiner

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Seja o momento de inércia de um objeto de massa com relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa. Escolha o eixo como sendo esse eixo que passa pelo centro de massa. Coloque a origem do sistema de coordenadas no centro de massa. Com essa escolha da origem, segue, da definição do centro de massa, que

e

Usando esse sistema de coordenadas, o momento de inércia do centro de massa é dado por

Considere, agora, um outro eixo, paralelo ao eixo com relação ao qual vamos calcular o momento de inércia Seja a distância desse novo eixo ao eixo que passa pelo centro de massa. Escolha o eixo de forma que cruze esse eixo. Então, o centro de massa com relação a esse novo eixo paralelo ao eixo é dado por

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Como a origem foi escolhida no centro de massa, segue que

e, assim,

Essa equação é uma expressão do chamado teorema de Huygens-Steiner.

😎

Música desta postagem: Liebesträume No. 3 (‘O Lieb – so lang du lieben kannst’) de Franz Liszt, por Mark Hensley

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2 Comments for O teorema de Huygens-Steiner

  1. Pericles said,

    setembro 1, 2010 @ 1:54

    A demonstração na http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Huygens-Steiner é similar a apresentada por você.
    A única dúvida que me restou diz respeito à definição do momento de inércia. Não entendi porque o momento de inércia é definido por dI= R²dm.
    Se me esclarecesse a dúvida, ficaria DEVERAS grato.
    Mais uma coisita: li um pouco o livro Mecânica Relacional que você indicou no blog. Estava DEVERAS empolgado porque estava conhecendo uma parte da mecânica totalmente nova pra mim, no que concerne às discussões filosóficas empregadas no desenvolvimento dos postulados da mecânica clássica de Newton e as observações de Leibniz, por exemplo, para ele o modelo ptolomaico não está essencialmente errado, fisicamente falando, e sim que o modelo copernicano é mais INTELIGÍVEL, ou seja, permite uma compreensão mais nítida do funcionamento do movimento dos corpos celestes. Eu fui enganado no colégio por professores que disseram que o modelo ptolomaico é falso.
    Tô falando MUITO, desculpe.
    Pois bem. Aconteceu d’ eu empacar no capítulo que inicia o eletromagnetismo, que pra mim é ainda muito complexo, pois envolve uma matemática bem complexa. Então, eu voltei pro seu blog pra tentar aprender um pouco sobre, com o seu método de explicação detalhado do assunto. Mas o que aconteceu: AQUI é muito complicado!!! Não entendi nada mesmo. Envolve um cálculo bem avançado.
    Então, eu vou estudar física-matemática desse site http://denebola.if.usp.br/~jbarata/Notas_de_aula/capitulos.html
    Vou tentar me aprofundar em cálculo. São mais de 2 mil páginas, mas VOILÁ. Quero aprender!
    Contei essa longa história, desculpe, mas foi um introdutório necessário pra enfim fazer uma pergunta chave:
    Você vai apresentar os assuntos de modo a que se possa entender eletromagnetismo num momento posterior, quer dizer, você vai mostrar todo o conhecimento necessário pra servir de base à compreensão da sua seção de Eletromagnetismo?
    Prometo não mais importuná-lo, mas continuarei acompanhando o seu blog. De qualquer forma, muito obrigado, MESMO, e agradeço pela presteza e educação.
    Boa Noite.

  2. reginaldo said,

    setembro 1, 2010 @ 16:07

    Olá Pericles,
    Grato deveras pelo seu comentário. Gostei do link em italiano; eu não conhecia esse site com a demonstração. Valeu! Essa página tem belas figuras ilustrativas.
    Com relação à definição do momento de inércia, pense na analogia entre movimento linear e movimento de rotação de corpos extensos rígidos. No caso de um corpo extenso em movimento ao longo do eixo cada elemento de massa tem a mesma velocidade já que o corpo extenso é também rígido, por hipótese, e cada elemento de massa deve, portanto, preservar a mesma posição relativa a todos os outros elementos de massa do corpo. A quantidade de movimento linear é definida como sendo, para cada elemento dada por Para o corpo todo, temos que a quantidade de movimento linear é igual à velocidade que é constante em todo o corpo, vezes a integral da massa do corpo, isto é, onde é a massa total do objeto em movimento linear. Para um corpo rígido em movimento de rotação em torno de um eixo, que chamaremos de eixo não é a velocidade tangencial que é uniforme em toda a extensão do corpo, mas a velocidade angular que é a mesma em cada ponto do objeto. A quantidade de movimento angular, agora, ao invés de linear, é dada pelo momentum angular do corpo. Cada elemento de massa dá uma contribuição para a quantidade de movimento angular assim: onde é a distância do elemento até o eixo A quantidade de movimento angular, ou momentum angular, total é dada pela soma das contribuições de cada elemento e, portanto, onde fica fora da integração, já que é constante, mas fica na integral, pois cada elemento tem sua distância ao eixo eixo Assim, é natural definirmos em analogia à massa no caso do momentum linear. O momentum angular fica, então, Perceba a analogia com
    Com relação ao modelo ptolomaico ser fisicamente ok, não há nada demais: com um número suficientemente grande de epiciclos, você pode descrever qualquer órbita… De qualquer maneira, estou satisfeito que você esteja tão empolgado com suas leituras e estudos! Isso é muito bom mesmo! Valeu também ter deixado o link com o curso de cálculo compreensivo que você encontrou. Espero que lhe seja útil!
    Meu sonho seria realmente colocar todo meu conhecimento e seu desenvolvimento on-line, mas estou apenas no começo e não posso prometer nada. Não sei bem qual material de eletromagnetismo você leu no meu site, mas posso lhe aconselhar ver meu curso mais elementar: http://www.ifsc.usp.br/~reginaldo/EletromagnetismoI2009/aulas.htm. Nesse site você encontrará o começo do curso de Eletromagnetismo I, que deve ser mais fácil do que o que tenho no Nerdyard, onde o curso era para a pós-graduação.
    Suas perguntas não são em nada inoportunas e você não me incomoda em absoluto.
    Mais uma vez, grato deveras pelo seu comentário e acompanhamento.

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