O teorema de Helmholtz

Nesta postagem vamos ver que o divergente e o rotacional de um campo vetorial determinam o campo vetorial. Decorre, então, que um campo que tem divergente nulo é determinado em termos de seu rotacional apenas. Com isso, mostraremos que o campo indução magnética se expressa como o resultado de um rotacional de um outro campo vetorial, chamado potencial vetorial.

Comecemos com a representação da “função” delta de Dirac em termos do laplaciano do inverso da distância entre os vetores posição de dois pontos no espaço, isto é,

Então, qualquer campo vetorial diferenciável, pode ser escrito como

ou seja,

já que o laplaciano só opera na variável e não depende dessa variável. Mas,

ou ainda,

Então, podemos substituir este resultado no integrando acima e obter

isto é,

Agora é fácil ver que

e

Mas,

e, portanto,

Logo,

Analogamente,

e, portanto,

Logo,

Assim,

Vamos tomar como sendo todo o volume do espaço. Então, usando o teorema da divergência de Gauss, podemos escrever:

Se o ponto de observação, com vetor posição está a uma distância finita da origem e se a distância da origem até os pontos com vetores posição sobre a superfície for infinita, segue que

Neste caso, o elemento de área é proporcional a e, portanto,

onde é o elemento de ângulo sólido subtendendo o elemento de área Supondo, portanto, que para finito o campo é nulo sobre ou, caso o campo seja independente de então varia com o inverso do quadrado de ou como com segue que

implicando que

para e podemos escrever

Usando o lema de Gauss, podemos também escrever:

e, através de um raciocínio completamente análogo ao usado acima, supondo que para finito o campo é nulo sobre ou, caso o campo seja independente de então varia com o inverso do quadrado de ou como com segue que

Com isso, podemos escrever:

que é o teorema de Helmholtz. Vejamos que o primeiro termo do segundo membro deste resultado tem rotacional nulo e o segundo termo tem o divergente nulo.

No caso particular do campo indução magnética, que tem seu divergente nulo em todo ponto do espaço, segue que

Portanto, vemos que, como segue que existe um campo vetorial, que denotaremos tal que

O campo é chamado de potencial vetorial.

😎

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Nerdyard

4 respostas para “O teorema de Helmholtz”

  1. Ótima derivação, professor. Mas a penúltima equação mostra que B é igual a rotacional de uma quantidade vetorial. Não seria melhor dizer isso ao invés de dizer “Portanto, vemos que, como divB = 0…”? Pois isso não é mostrado na penúltima equação.

  2. Olá, Davidge!
    Grato deveras pelo seu comentário! Sinto muito por só agora ver que, por alguma razão, não havia respondido a você. O teorema de Helmholtz diz que um campo vetorial é determinado por seu rotacional e seu divergente. Basta você olhar a equação acima, a antepenúltima. Então, substituindo B no lugar de G, na antepenúltima expressão, vemos que, porque o divergente de B é nulo, a expressão que sobra é a penúltima. Foi isso o que eu quis dizer. Ficou claro agora?
    Gratíssimo pelo elogio e mais ainda pelo interesse!
    Valeu!
    reginaldo

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