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O teorema da divergência de Gauss | Nerdyard

O teorema da divergência de Gauss

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Nesta postagem faço uma demonstração muito didática e intuitiva do teorema da divergência de Gauss. Certamente que a exposição seguinte não vai satisfazer as exigências das mentes mais matematicamente inclinadas, mas provavelmente vai ajudar você a sentir cinestesicamente o que esse teorema significa. :smile:

O teorema da divergência de Gauss pode ser enunciado de uma forma simples:

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int_{V}\: d^{3}r\:\boldsymbol{\nabla\cdot}\mathbf{F} & = & \displaystyle \oint_{S\left(V\right)}\: da\:\mathbf{\hat{n}}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{F}.\end{array}

Para entendermos esse resultado, comparel evitra to viagra primeiro consideremos o seguinte lema:

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int_{V}\: d^{3}r\:\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z} & = & \displaystyle \oint_{S\left(V\right)}\: da\: n_{z\,}f.\end{array}

Para uma região compacta e convexa do espaço, { V}, seja { S\left(V\right)} sua superfície (fronteira). Nesse caso, escolhendo adequadamente os eixos { x}, { y} e { z}, a superfície { S}, que é fechada, pode ser descrita por duas funções de { x} e { y}: { z_{1}\left(x,y\right)} e { z_{2}\left(x,y\right)}, com { z_{1}\leq z_{2}} para todo { \left(x,y\right)\in R_{xy}}, onde { R_{xy}} é o domínio comum de { z_{1}} e { z_{2}}. Sendo assim,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int_{V}\: d^{3}r\:\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z} & = & \displaystyle \iint_{R_{xy}}\: dx\, dy\:\int_{z_{1}\left(x,y\right)}^{z_{2}\left(x,y\right)}\: dz\:\displaystyle\frac{\partial f\left(x,y,z\right)}{\partial z}\\ & = & \displaystyle \iint_{R_{xy}}\: dx\, dy\:\left[f\left(x,y,z_{2}\left(x,y\right)\right)-f\left(x,y,z_{1}\left(x,y\right)\right)\right].\end{array}

Agora consideremos um elemento de superfície de { S}.

Suponhamos que esse elemento seja um paralelogramo. Sejam { \mathbf{u}} e generic cialis pills dk { \mathbf{v}} vetores paralelos, respectivamente, a dois lados adjacentes do elemento de superfície em consideração, tais que

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \mathbf{u}\boldsymbol{\times}\mathbf{v} & = & \displaystyle \left|\mathbf{u}\boldsymbol{\times}\mathbf{v}\right|\mathbf{\hat{n}},\end{array}

onde { \mathbf{\hat{n}}} é a normal externa de { S}, calculada em um ponto do elemento infinitesimal considerado. Portanto, em coordenadas cartesianas, podemos escrever:

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \mathbf{u} & = & \displaystyle \mathbf{\hat{x}}dx+\mathbf{\hat{z}}u_{z},\\ \mathbf{v} & = & \displaystyle \mathbf{\hat{y}}dy+\mathbf{\hat{z}}v_{z},\end{array}

onde agora supomos, sem perda de generalidade, que estamos considerando elementos de { S} retangulares e com projeções dos lados adjacentes, sobre o plano { xy}, ao longo de { x} e { y}, respectivamente. Logo,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \mathbf{\hat{z}}\boldsymbol{\cdot}\left(\mathbf{u\boldsymbol{\times}v}\right) & =\mathbf{\hat{z}}\boldsymbol{\cdot} & \left[\left(\mathbf{\hat{x}}dx+\mathbf{\hat{z}}u_{z}\right)\boldsymbol{\times}\left(\mathbf{\hat{y}}dy+\mathbf{\hat{z}}v_{z}\right)\right]\\ & = & \displaystyle dx\, dy.\end{array}

Como o elemento de buy cialis delived fed ex área, { da}, é { \left|\mathbf{u}\boldsymbol{\times}\mathbf{v}\right|}, segue que

\begin{array}{rcl} \displaystyle  da\: n_{z} & = & \displaystyle \mathbf{\hat{z}}\boldsymbol{\cdot}\left(\left|\mathbf{u}\boldsymbol{\times}\mathbf{v}\right|\mathbf{\hat{n}}\right)\\ & = & \displaystyle \mathbf{\hat{z}}\boldsymbol{\cdot}\left(\mathbf{u\boldsymbol{\times}v}\right)\\ & = & \displaystyle \pm\left|dx\, dy\right|,\end{array}

onde o sinal positivo ocorre sobre a parte de { S} representada por { z_{2}} e o sinal negativo ocorre sobre a parte de { S} representada por { z_{1}}. Assim,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \oint_{S\left(V\right)}\: da\: n_{z}\, f & = & \displaystyle \iint_{R_{xy}}\: dx\, dy\: f\left(x,y,z_{2}\left(x,y\right)\right)\\ & - & \displaystyle \iint_{R_{xy}}\: dx\, dy\: f\left(x,y,z_{1}\left(x,y\right)\right),\end{array}

mostrando o lema acima, onde, sobre { R_{xy}}, { dx\, dy>0}.

É agora óbvio que, para funções { F_{x}}, { F_{y}} e { F_{z}} quaisquer, para { V} compacta e convexa, temos as equações:

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int_{V}\: d^{3}r\:\displaystyle\frac{\partial F_{x}}{\partial x} & = & \displaystyle \oint_{S\left(V\right)}\: da\: n_{x}F_{x},\\ \int_{V}\: d^{3}r\:\displaystyle\frac{\partial F_{y}}{\partial y} & = & \displaystyle \oint_{S\left(V\right)}\: da\: n_{y}F_{y},\\ \int_{V}\: d^{3}r\:\displaystyle\frac{\partial F_{z}}{\partial z} & = & \displaystyle \oint_{S\left(V\right)}\: da\: n_{z}F_{z},\end{array}

que, somadas membro a membro, resultam no teorema da divergência acima para o caso particular em que { V} é convexa e compacta.

Resta agora provar que esse teorema vale para regiões não convexas e não compactas. Ora, se tivermos uma região não convexa, basta fazermos uma partição dessa região em pequenos elementos convexos e tomar o limite:

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int_{V}\: d^{3}r\:\mathbf{\boldsymbol{\nabla\cdot}\mathbf{F}} & = & \displaystyle \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{N}\int_{V_{i}}\: d^{3}r_{i}\:\mathbf{\boldsymbol{\nabla\cdot}\mathbf{F}}\\ & = & \displaystyle \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{N}\oint_{S_{i}\left(V_{i}\right)}\: da_{i}\:\mathbf{\hat{n}}_{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{F}.\end{array}

Em cada pequeno elemento, a where can i purchase viagra online normal externa, { \mathbf{\hat{n}}_{i}}, é oposta à normal externa do elemento adjacente, cancelando todos os fluxos internos, sobrando somente a integral sobre a fronteira de toda a região não convexa, demonstrando o teorema.

Caso a região seja não compacta, as somas valem trivialmente em ambos os membros. Assim, o teorema da divergência fica demonstrado para qualquer região do espaço. E eu espero que você tenha acompanhado esses raciocínios, pois são cruciais para você realmente poder entender eletromagnetismo. :cool:

Música desta postagem: Waltz Op.34 (Waltz no.1 in A-flat Major) de Frederic Chopin, por Harald Vetter

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