O teorema da divergência de Gauss

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Nesta postagem faço uma demonstração muito didática e intuitiva do teorema da divergência de Gauss. Certamente que a exposição seguinte não vai satisfazer as exigências das mentes mais matematicamente inclinadas, mas provavelmente vai ajudar você a sentir cinestesicamente o que esse teorema significa. 🙂

O teorema da divergência de Gauss pode ser enunciado de uma forma simples:

Para entendermos esse resultado, primeiro consideremos o seguinte lema:

Para uma região compacta e convexa do espaço, , seja sua superfície (fronteira). Nesse caso, escolhendo adequadamente os eixos , e , a superfície , que é fechada, pode ser descrita por duas funções de e : e , com para todo , onde é o domínio comum de e . Sendo assim,

Agora consideremos um elemento de superfície de .

Suponhamos que esse elemento seja um paralelogramo. Sejam e vetores paralelos, respectivamente, a dois lados adjacentes do elemento de superfície em consideração, tais que

onde é a normal externa de , calculada em um ponto do elemento infinitesimal considerado. Portanto, em coordenadas cartesianas, podemos escrever:

onde agora supomos, sem perda de generalidade, que estamos considerando elementos de retangulares e com projeções dos lados adjacentes, sobre o plano , ao longo de e , respectivamente. Logo,

Como o elemento de área, , é , segue que

onde o sinal positivo ocorre sobre a parte de representada por e o sinal negativo ocorre sobre a parte de representada por . Assim,

mostrando o lema acima, onde, sobre , .

É agora óbvio que, para funções , e quaisquer, para compacta e convexa, temos as equações:

que, somadas membro a membro, resultam no teorema da divergência acima para o caso particular em que é convexa e compacta.

Resta agora provar que esse teorema vale para regiões não convexas e não compactas. Ora, se tivermos uma região não convexa, basta fazermos uma partição dessa região em pequenos elementos convexos e tomar o limite:

Em cada pequeno elemento, a normal externa, , é oposta à normal externa do elemento adjacente, cancelando todos os fluxos internos, sobrando somente a integral sobre a fronteira de toda a região não convexa, demonstrando o teorema.

Caso a região seja não compacta, as somas valem trivialmente em ambos os membros. Assim, o teorema da divergência fica demonstrado para qualquer região do espaço. E eu espero que você tenha acompanhado esses raciocínios, pois são cruciais para você realmente poder entender eletromagnetismo. 😎

Música desta postagem: Waltz Op.34 (Waltz no.1 in A-flat Major) de Frederic Chopin, por Harald Vetter

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