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Há um teorema de central importância sobre o limite de distribuições probabilísticas: é o chamado teorema central do limite. Esse teorema é realmente curioso, pois estabelece que se variáveis reais aleatórias
com
forem identicamente distribuídas na reta real, com densidade de probabilidade dada por
para cada
e se a densidade
for arbitrária, mas tal que todos os valores médios das potências de
sejam finitos, então a densidade de probabilidade para a variável soma, isto é,
no limite em que for muito grande, será gaussiana! 😯 Isso mesmo: independentemente da distribuição
😯
Como exemplo análogo do caso discreto, pensemos em uma série de lançamentos de um dado. Cada lançamento pode resultar em uma de seis possíveis faces, com a probabilidade de ocorrência igual a um sexto. Assim, a ocorrência de cada um dos números de face de
a
é igualmente provável em cada lançamento. Depois de
lançamentos idênticos e independentes, podemos perguntar qual a média do número de face. Por exemplo, em três lançamentos, obtemos os números de face:
e
e a média é dada por
Podemos repetir esses três lançamentos muitas e muitas vezes e estimar a distribuição de probabilidades de que um valor ocorra para a média dos valores de face. Essa distribuição, para três lançamentos, não é gaussiana. Mas se fizermos esse mesmo experimento com o número de lançamentos
cada vez maior, a distribuição de ocorrência de
será gaussiana, segundo o teorema central do limite. A seguir, segue uma prova do teorema. 😎
Seja a densidade de probabilidade de que a variável
definida pela soma das variáveis aleatórias
isto é,
assuma um valor entre e
Seja
a transformada de Fourier de
A exponencial pode ser escrita como uma série infinita:
Logo,
onde denotamos o valor esperado de por
Para por exemplo, temos a probabilidade
de que a variável estocástica
assuma um valor entre
e
Analogamente, temos a probabilidade
de que a variável estocástica
assuma um valor entre
e
De todos os valores independentes que
e
possam assumir, qual a probabilidade de que assumam valores tais que
tenha um valor entre
e
A resposta para essa questão é simples: escrevemos
e, para cada valor de e
a probabilidade é
Como agora queremos que as variáveis independentes sejam e
utilizamos a relação
e a probabilidade procurada pode ser escrita como
já que qualquer valor de poderá ocorrer e ainda assim termos o mesmo valor para
Portanto, a densidade de probabilidade é dada por
que também pode ser expressa como
onde é a chamada “função delta de Dirac”. Se utilizarmos as propriedades:
e
obteremos
Para , podemos facilmente generalizar a fórmula acima:
Usando esse resultado na expressão do valor esperado de encontramos
isto é,
Utilizando essa igualdade na equação
fornece
Reconhecemos a série infinita acima como uma exponencial:
Logo,
Como estamos supondo que é muito grande, podemos utilizar a expansão:
e, portanto,
isto é,
onde
e
Com isso, a equação
pode ser escrita como
Para muito grande, podemos expandir o logaritmo:
isto é,
onde reconhecemos a variância de ou seja,
Então,
Essa é a trasformada de Fourier da densidade de probabilidade que procuramos. Podemos inverter a equação
e obter
Como
concluímos que podemos obter a partir de
Então, da equação
segue que
e, completanto o quadrado no argumento da exponencial no integrando, vem:
isto é,
Como
escrevemos
O valor esperado de é dado por
já que as variáveis são todas independentes e identicamente distribuídas. A variância de
é dada por
isto é,
Mas, como as variáveis são todas independentes e identicamente distribuídas, temos:
onde é a função de dois inteiros,
e
chamada “delta de Kronecker”. Assim,
isto é,
ou seja,
Podemos, então, escrever a densidade de probabilidade para a variável , quando
é muito grande, como uma gaussiana:
Acho isso fantástico! 😀 Você não acha? 😎
Música desta postagem: Romanian Folk Dances, Sz. 56 de Béla Bartók, por Monica Alianello
Recomendo também a leitura das postagens a seguir:
- Transformada de Fourier
- O movimento browniano geométrico
- O preço da bebedeira ou a bebedeira do preço?
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