O teorema central do limite de distribuições probabilísticas

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Há um teorema de central importância sobre o limite de distribuições probabilísticas: é o chamado teorema central do limite. Esse teorema é realmente curioso, pois estabelece que se ${ N}$ variáveis reais aleatórias ${ x_{i},}$ com ${ i=1,}$ ${ 2,}$ ${ \ldots,}$ ${ N,}$ forem identicamente distribuídas na reta real, com densidade de probabilidade dada por ${ p\left(x_{i}\right),}$ para cada ${ i=1,}$ ${ 2,}$ ${ \ldots,}$ ${ N,}$ e se a densidade ${ p}$ for arbitrária, mas tal que todos os valores médios das potências de ${ x_{i}}$ sejam finitos, então a densidade de probabilidade para a variável soma, isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle X & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i},\end{array}$

no limite em que ${ N}$ for muito grande, será gaussiana! 😯 Isso mesmo: independentemente da distribuição ${ p!}$ 😯

photo credit: Brian U

Como exemplo análogo do caso discreto, pensemos em uma série de ${ N}$ lançamentos de um dado. Cada lançamento pode resultar em uma de seis possíveis faces, com a probabilidade de ocorrência igual a um sexto. Assim, a ocorrência de cada um dos números de face de ${ 1}$ a ${ 6}$ é igualmente provável em cada lançamento. Depois de ${ N}$ lançamentos idênticos e independentes, podemos perguntar qual a média do número de face. Por exemplo, em três lançamentos, obtemos os números de face: ${ x_{1}=1,}$ ${ x_{2}=5}$ e ${ x_{3}=4}$ e a média é dada por

$\begin{array}{rcl} \displaystyle X & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{3}\left(1+5+4\right)\\ & = & \displaystyle \displaystyle\frac{10}{3}.\end{array}$

Podemos repetir esses três lançamentos muitas e muitas vezes e estimar a distribuição de probabilidades de que um valor ${ X}$ ocorra para a média dos valores de face. Essa distribuição, para três lançamentos, não é gaussiana. Mas se fizermos esse mesmo experimento com o número de lançamentos ${ N}$ cada vez maior, a distribuição de ocorrência de ${ X}$ será gaussiana, segundo o teorema central do limite. A seguir, segue uma prova do teorema. 😎

Seja ${ P\left(X\right)}$ a densidade de probabilidade de que a variável ${ X,}$ definida pela soma das variáveis aleatórias ${ x_{i},}$ isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle X & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i},\end{array}$

assuma um valor entre ${ X}$ e ${ X+dX.}$ Seja ${ Q\left(K\right)}$ a transformada de Fourier de ${ P\left(X\right):}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle Q\left(K\right) & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dX\, P\left(X\right)\exp\left(iKX\right).\end{array}$

A exponencial pode ser escrita como uma série infinita:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \exp\left(iKX\right) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{i^{n}K^{n}}{n!}X^{n}.\end{array}$

Logo,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle Q\left(K\right) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{i^{n}K^{n}}{n!}\int_{-\infty}^{+\infty}dX\, P\left(X\right)X^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{i^{n}K^{n}}{n!}\left\langle X^{n}\right\rangle ,\end{array}$

onde denotamos o valor esperado de ${ X^{n}}$ por ${ \left\langle X^{n}\right\rangle :}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left\langle X^{n}\right\rangle & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dX\, P\left(X\right)X^{n}.\end{array}$

Para ${ N=2,}$ por exemplo, temos a probabilidade ${ p\left(x_{1}\right)dx_{1}}$ de que a variável estocástica ${ x_{1}}$ assuma um valor entre ${ x_{1}}$ e ${ x_{1}+dx_{1}.}$ Analogamente, temos a probabilidade ${ p\left(x_{2}\right)dx_{2}}$ de que a variável estocástica ${ x_{2}}$ assuma um valor entre ${ x_{2}}$ e ${ x_{2}+dx_{2}.}$ De todos os valores independentes que ${ x_{1}}$ e ${ x_{2}}$ possam assumir, qual a probabilidade de que assumam valores tais que ${ \left(x_{1}+x_{2}\right)/2}$ tenha um valor entre ${ X}$ e ${ X+dX?}$ A resposta para essa questão é simples: escrevemos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle x_{2} & = & \displaystyle 2X-x_{1}\end{array}$

e, para cada valor de ${ X}$ e ${ x_{1}}$ a probabilidade é

$\displaystyle p\left(x_{1}\right)p\left(x_{2}\right)dx_{1}dx_{2}.$

Como agora queremos que as variáveis independentes sejam ${ X}$ e ${ x_{1},}$ utilizamos a relação

$\begin{array}{rcl} \displaystyle dx_{1}dx_{2} & = & \displaystyle \left|\begin{array}{cc} \displaystyle\frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}} & \displaystyle\frac{\partial x_{1}}{\partial X}\\ \displaystyle\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{1}} & \displaystyle\frac{\partial x_{2}}{\partial X}\end{array}\right|dx_{1}dX=\left|\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -1 & 2\end{array}\right|dx_{1}dX=2dx_{1}dX\end{array}$

e a probabilidade procurada pode ser escrita como

$\begin{array}{rcl} \displaystyle P\left(X\right)dX & = & \displaystyle 2\int_{-\infty}^{+\infty}p\left(x_{1}\right)p\left(2X-x_{1}\right)dx_{1}dX,\end{array}$

já que qualquer valor de ${ x_{1}}$ poderá ocorrer e ainda assim termos o mesmo valor para ${ X.}$ Portanto, a densidade de probabilidade é dada por

$\begin{array}{rcl} \displaystyle P\left(X\right) & = & \displaystyle 2\int_{-\infty}^{+\infty}p\left(x_{1}\right)p\left(2X-x_{1}\right)dx_{1},\end{array}$

que também pode ser expressa como

$\begin{array}{rcl} \displaystyle P\left(X\right) & = & \displaystyle 2\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}p\left(x_{1}\right)p\left(x_{2}\right)\delta\left[x_{2}-\left(2X-x_{1}\right)\right]dx_{1}dx_{2},\end{array}$

onde ${ \delta}$ é a chamada “função delta de Dirac”. Se utilizarmos as propriedades:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \delta\left(ay\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{\left|a\right|}\delta\left(y\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \delta\left(y\right) & = & \displaystyle \delta\left(-y\right),\end{array}$

obteremos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle P\left(X\right) & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}p\left(x_{1}\right)p\left(x_{2}\right)\delta\left(X-\displaystyle\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)dx_{1}dx_{2}.\end{array}$

Para ${ N>2}$ , podemos facilmente generalizar a fórmula acima:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle P\left(X\right) & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\ldots\int_{-\infty}^{+\infty}p\left(x_{1}\right)p\left(x_{2}\right)\ldots p\left(x_{N}\right)\delta\left(X-\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{i}\right)dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{N}.\end{array}$

Usando esse resultado na expressão do valor esperado de ${ X^{n}}$ encontramos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left\langle X^{n}\right\rangle & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dX\, P\left(X\right)X^{n}\\ & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dX\, X^{n}\int_{-\infty}^{+\infty}\ldots\int_{-\infty}^{+\infty}p\left(x_{1}\right)\ldots p\left(x_{N}\right)\delta\left(X-\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{i}\right)dx_{1}\ldots dx_{N}\\ & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\ldots\int_{-\infty}^{+\infty}dx_{1}\ldots dx_{N}p\left(x_{1}\right)\ldots p\left(x_{N}\right)\int_{-\infty}^{+\infty}dX\, X^{n}\delta\left(X-\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{i}\right),\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left\langle X^{n}\right\rangle & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\ldots\int_{-\infty}^{+\infty}dx_{1}\ldots dx_{N}p\left(x_{1}\right)\ldots p\left(x_{N}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{i}\right)^{n}.\end{array}$

Utilizando essa igualdade na equação

$\begin{array}{rcl} \displaystyle Q\left(K\right) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{i^{n}K^{n}}{n!}\int_{-\infty}^{+\infty}dX\, P\left(X\right)X^{n}\end{array}$

fornece

$\begin{array}{rcl} \displaystyle Q\left(K\right) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{i^{n}K^{n}}{n!}\int_{-\infty}^{+\infty}\ldots\int_{-\infty}^{+\infty}dx_{1}\ldots dx_{N}p\left(x_{1}\right)\ldots p\left(x_{N}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{i}\right)^{n}\\ & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\ldots\int_{-\infty}^{+\infty}dx_{1}\ldots dx_{N}p\left(x_{1}\right)\ldots p\left(x_{N}\right)\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{i^{n}K^{n}}{n!}\left(\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{i}\right)^{n}.\end{array}$

Reconhecemos a série infinita acima como uma exponencial:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{i^{n}K^{n}}{n!}\left(\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{i}\right)^{n} & = & \displaystyle \exp\left(\displaystyle\frac{iK}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{i}\right).\end{array}$

Logo,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle Q\left(K\right) & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\ldots\int_{-\infty}^{+\infty}dx_{1}\ldots dx_{N}p\left(x_{1}\right)\ldots p\left(x_{N}\right)\exp\left(\displaystyle\frac{iK}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{i}\right)\\ & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dx_{1}p\left(x_{1}\right)\exp\left(\displaystyle\frac{iK}{N}x_{1}\right)\ldots\int_{-\infty}^{+\infty}dx_{N}p\left(x_{N}\right)\exp\left(\displaystyle\frac{iK}{N}x_{N}\right)\\ & = & \displaystyle \left[\int_{-\infty}^{+\infty}dxp\left(x\right)\exp\left(\displaystyle\frac{iK}{N}x\right)\right]^{N}.\end{array}$

Como estamos supondo que ${ N}$ é muito grande, podemos utilizar a expansão:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \exp\left(\displaystyle\frac{iK}{N}x\right) & = & \displaystyle 1+i\displaystyle\frac{K}{N}x-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}x^{2}+\cdots\end{array}$

e, portanto,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dxp\left(x\right)\exp\left(\displaystyle\frac{iK}{N}x\right) & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dxp\left(x\right)\left[1+i\displaystyle\frac{K}{N}x-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}x^{2}+\cdots\right]\\ & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dxp\left(x\right)+i\displaystyle\frac{K}{N}\int_{-\infty}^{+\infty}dxp\left(x\right)x\\ & - & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}\int_{-\infty}^{+\infty}dxp\left(x\right)x^{2}+\cdots,\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dxp\left(x\right)\exp\left(\displaystyle\frac{iK}{N}x\right) & = & \displaystyle 1+i\displaystyle\frac{K}{N}\left\langle x\right\rangle -\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}\left\langle x^{2}\right\rangle +\cdots,\end{array}$

onde

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dxp\left(x\right) & = & \displaystyle 1,\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left\langle x\right\rangle & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dxp\left(x\right)x\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left\langle x^{2}\right\rangle & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dxp\left(x\right)x^{2}.\end{array}$

Com isso, a equação

$\begin{array}{rcl} \displaystyle Q\left(K\right) & = & \displaystyle \left[\int_{-\infty}^{+\infty}dxp\left(x\right)\exp\left(\displaystyle\frac{iK}{N}x\right)\right]^{N}\end{array}$

pode ser escrita como

$\begin{array}{rcl} \displaystyle Q\left(K\right) & = & \displaystyle \left[1+i\displaystyle\frac{K}{N}\left\langle x\right\rangle -\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}\left\langle x^{2}\right\rangle +\cdots\right]^{N}\\ & = & \displaystyle \exp\left\{ N\ln\left[1+i\displaystyle\frac{K}{N}\left\langle x\right\rangle -\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}\left\langle x^{2}\right\rangle +\cdots\right]\right\} .\end{array}$

Para ${ N}$ muito grande, podemos expandir o logaritmo:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \ln\left[1+i\displaystyle\frac{K}{N}\left\langle x\right\rangle -\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}\left\langle x^{2}\right\rangle +\cdots\right] & = & \displaystyle \left[i\displaystyle\frac{K}{N}\left\langle x\right\rangle -\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}\left\langle x^{2}\right\rangle +\cdots\right]\\ & - & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\left[i\displaystyle\frac{K}{N}\left\langle x\right\rangle -\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}\left\langle x^{2}\right\rangle +\cdots\right]^{2}+\cdots\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \ln\left[1+i\displaystyle\frac{K}{N}\left\langle x\right\rangle -\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}\left\langle x^{2}\right\rangle +\cdots\right] & = & \displaystyle i\displaystyle\frac{K}{N}\left\langle x\right\rangle -\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}\left\langle x^{2}\right\rangle -\displaystyle\frac{1}{2}\left(i\displaystyle\frac{K}{N}\left\langle x\right\rangle \right)^{2}+\cdots\\ & = & \displaystyle i\displaystyle\frac{K}{N}\left\langle x\right\rangle -\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}\left(\left\langle x^{2}\right\rangle -\left\langle x\right\rangle ^{2}\right)+\cdots\\ & = & \displaystyle i\displaystyle\frac{K}{N}\left\langle x\right\rangle -\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}\mathrm{var}\left(x\right)+\cdots,\end{array}$

onde reconhecemos a variância de ${ x,}$ ou seja,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{var}\left(x\right) & = & \displaystyle \left\langle x^{2}\right\rangle -\left\langle x\right\rangle ^{2}.\end{array}$

Então,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle Q\left(K\right) & = & \displaystyle \exp\left\{ N\left[i\displaystyle\frac{K}{N}\left\langle x\right\rangle -\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{K}{N}\right)^{2}\mathrm{var}\left(x\right)+\cdots\right]\right\} \\ & = & \displaystyle \exp\left[iK\left\langle x\right\rangle -\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{K^{2}}{N}\mathrm{var}\left(x\right)+\cdots\right].\end{array}$

Essa é a trasformada de Fourier da densidade de probabilidade ${ P\left(X\right)}$ que procuramos. Podemos inverter a equação

$\begin{array}{rcl} \displaystyle Q\left(K\right) & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dX\, P\left(X\right)\exp\left(iKX\right)\end{array}$

e obter

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dK\, Q\left(K\right)\exp\left(-iKX\right) & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dK\left[\int_{-\infty}^{+\infty}dY\, P\left(Y\right)\exp\left(iKY\right)\right]\exp\left(-iKX\right)\\ & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dY\, P\left(Y\right)\int_{-\infty}^{+\infty}dK\exp\left[iK\left(Y-X\right)\right].\end{array}$

Como

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dK\exp\left[iK\left(Y-X\right)\right] & = & \displaystyle 2\pi\delta\left(Y-X\right),\end{array}$

concluímos que podemos obter ${ P\left(X\right)}$ a partir de ${ Q\left(K\right):}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle P\left(X\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}dK\, Q\left(K\right)\exp\left(-iKX\right).\end{array}$

Então, da equação

$\begin{array}{rcl} \displaystyle Q\left(K\right) & = & \displaystyle \exp\left[iK\left\langle x\right\rangle -\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{K^{2}}{N}\mathrm{var}\left(x\right)+\cdots\right]\end{array}$

segue que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle P\left(X\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}dK\,\exp\left[-iK\left(X-\left\langle x\right\rangle \right)-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{K^{2}}{N}\mathrm{var}\left(x\right)+\cdots\right]\\ & \approx & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}dK\,\exp\left[-iK\left(X-\left\langle x\right\rangle \right)-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{K^{2}}{N}\mathrm{var}\left(x\right)\right]\\ & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}dK\,\exp\left\{ -\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\mathrm{var}\left(x\right)}{N}\left[K^{2}+2i\displaystyle\frac{NK}{\mathrm{var}\left(x\right)}\left(X-\left\langle x\right\rangle \right)\right]\right\} \end{array}$

e, completanto o quadrado no argumento da exponencial no integrando, vem:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle P\left(X\right) & \approx & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2\pi}\exp\left\{ \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\mathrm{var}\left(x\right)}{N}\left(\displaystyle\frac{iN\left(X-\left\langle x\right\rangle \right)}{\mathrm{var}\left(x\right)}\right)^{2}\right\} \\ & \times & \int_{-\infty}^{+\infty}dK\,\exp\left\{ -\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\mathrm{var}\left(x\right)}{N}\left[K^{2}+2i\displaystyle\frac{NK}{\mathrm{var}\left(x\right)}\left(X-\left\langle x\right\rangle \right)+\left(\displaystyle\frac{iN\left(X-\left\langle x\right\rangle \right)}{\mathrm{var}\left(x\right)}\right)^{2}\right]\right\} ,\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle P\left(X\right) & \approx & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2\pi}\exp\left\{ -\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{N\left(X-\left\langle x\right\rangle \right)^{2}}{\mathrm{var}\left(x\right)}\right\} \int_{-\infty}^{+\infty}dK\,\exp\left\{ -\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\mathrm{var}\left(x\right)}{N}\left(K+\displaystyle\frac{iN\left(X-\left\langle x\right\rangle \right)}{\mathrm{var}\left(x\right)}\right)^{2}\right\} .\end{array}$

Como

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dK\,\exp\left\{ -\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\mathrm{var}\left(x\right)}{N}\left(K+\displaystyle\frac{iN\left(X-\left\langle x\right\rangle \right)}{\mathrm{var}\left(x\right)}\right)^{2}\right\} & = & \displaystyle \sqrt{\displaystyle\frac{2\pi N}{\mathrm{var}\left(x\right)}},\end{array}$

escrevemos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle P\left(X\right) & \approx & \displaystyle \sqrt{\displaystyle\frac{N}{2\pi\mathrm{var}\left(x\right)}}\exp\left\{ -\displaystyle\frac{N}{2\mathrm{var}\left(x\right)}\left(X-\left\langle x\right\rangle \right)^{2}\right\} .\end{array}$

O valor esperado de ${ X}$ é dado por

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left\langle X\right\rangle & = & \displaystyle \left\langle \displaystyle\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{n}\right\rangle =\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\left\langle x_{n}\right\rangle =\left\langle x\right\rangle ,\end{array}$

já que as variáveis ${ x_{n}}$ são todas independentes e identicamente distribuídas. A variância de ${ X}$ é dada por

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{var}\left(X\right) & = & \displaystyle \left\langle X^{2}\right\rangle -\left\langle X\right\rangle ^{2}=\left\langle \displaystyle\frac{1}{N}\sum_{m=1}^{N}x_{m}\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{n}\right\rangle -\left\langle x\right\rangle ^{2},\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{var}\left(X\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{N^{2}}\sum_{m=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\left\langle x_{m}x_{n}\right\rangle -\left\langle x\right\rangle ^{2}.\end{array}$

Mas, como as variáveis ${ x_{m}}$ são todas independentes e identicamente distribuídas, temos:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left\langle x_{m}x_{n}\right\rangle & = & \displaystyle \delta_{mn}\left\langle x^{2}\right\rangle +\left(1-\delta_{mn}\right)\left\langle x\right\rangle ^{2},\end{array}$

onde ${ \delta_{mn}}$ é a função de dois inteiros, ${ m}$ e ${ n,}$ chamada “delta de Kronecker”. Assim,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{var}\left(X\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{N^{2}}\sum_{m=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\left[\delta_{mn}\left\langle x^{2}\right\rangle +\left(1-\delta_{mn}\right)\left\langle x\right\rangle ^{2}\right]-\left\langle x\right\rangle ^{2}\\ & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{N^{2}}\sum_{m=1}^{N}\left\langle x^{2}\right\rangle +\displaystyle\frac{1}{N^{2}}\sum_{m=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\left(1-\delta_{mn}\right)\left\langle x\right\rangle ^{2}-\left\langle x\right\rangle ^{2}\\ & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{N}\left\langle x^{2}\right\rangle +\displaystyle\frac{1}{N^{2}}\sum_{m=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\left\langle x\right\rangle ^{2}-\displaystyle\frac{1}{N^{2}}\sum_{m=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\delta_{mn}\left\langle x\right\rangle ^{2}-\left\langle x\right\rangle ^{2},\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{var}\left(X\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{N}\left\langle x^{2}\right\rangle +\left\langle x\right\rangle ^{2}-\displaystyle\frac{1}{N^{2}}\sum_{m=1}^{N}\left\langle x\right\rangle ^{2}-\left\langle x\right\rangle ^{2}=\displaystyle\frac{1}{N}\left\langle x^{2}\right\rangle -\displaystyle\frac{1}{N}\left\langle x\right\rangle ^{2},\end{array}$

ou seja,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathrm{var}\left(X\right) & = & \displaystyle \displaystyle\frac{\mathrm{var}\left(x\right)}{N}.\end{array}$

Podemos, então, escrever a densidade de probabilidade para a variável ${ X}$ , quando ${ N}$ é muito grande, como uma gaussiana:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle P\left(X\right) & \approx & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\mathrm{var}\left(X\right)}}\exp\left\{ -\displaystyle\frac{\left(X-\left\langle X\right\rangle \right)^{2}}{2\mathrm{var}\left(X\right)}\right\} .\end{array}$

Acho isso fantástico! 😀 Você não acha? 😎

Música desta postagem: Romanian Folk Dances, Sz. 56 de Béla Bartók, por Monica Alianello

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

Transformada de Fourier

O movimento browniano geométrico

O preço da bebedeira ou a bebedeira do preço?

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