O teorema central do limite de distribuições probabilísticas

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Há um teorema de central importância sobre o limite de distribuições probabilísticas: é o chamado teorema central do limite. Esse teorema é realmente curioso, pois estabelece que se variáveis reais aleatórias com forem identicamente distribuídas na reta real, com densidade de probabilidade dada por para cada e se a densidade for arbitrária, mas tal que todos os valores médios das potências de sejam finitos, então a densidade de probabilidade para a variável soma, isto é,

no limite em que for muito grande, será gaussiana! 😯 Isso mesmo: independentemente da distribuição 😯

Settlers of Catan
Creative Commons License photo credit: Brian U

Como exemplo análogo do caso discreto, pensemos em uma série de lançamentos de um dado. Cada lançamento pode resultar em uma de seis possíveis faces, com a probabilidade de ocorrência igual a um sexto. Assim, a ocorrência de cada um dos números de face de a é igualmente provável em cada lançamento. Depois de lançamentos idênticos e independentes, podemos perguntar qual a média do número de face. Por exemplo, em três lançamentos, obtemos os números de face: e e a média é dada por

Podemos repetir esses três lançamentos muitas e muitas vezes e estimar a distribuição de probabilidades de que um valor ocorra para a média dos valores de face. Essa distribuição, para três lançamentos, não é gaussiana. Mas se fizermos esse mesmo experimento com o número de lançamentos cada vez maior, a distribuição de ocorrência de será gaussiana, segundo o teorema central do limite. A seguir, segue uma prova do teorema. 😎

Seja a densidade de probabilidade de que a variável definida pela soma das variáveis aleatórias isto é,

assuma um valor entre e Seja a transformada de Fourier de

A exponencial pode ser escrita como uma série infinita:

Logo,

onde denotamos o valor esperado de por

Para por exemplo, temos a probabilidade de que a variável estocástica assuma um valor entre e Analogamente, temos a probabilidade de que a variável estocástica assuma um valor entre e De todos os valores independentes que e possam assumir, qual a probabilidade de que assumam valores tais que tenha um valor entre e A resposta para essa questão é simples: escrevemos

e, para cada valor de e a probabilidade é

Como agora queremos que as variáveis independentes sejam e utilizamos a relação

e a probabilidade procurada pode ser escrita como

já que qualquer valor de poderá ocorrer e ainda assim termos o mesmo valor para Portanto, a densidade de probabilidade é dada por

que também pode ser expressa como

onde é a chamada “função delta de Dirac”. Se utilizarmos as propriedades:

e

obteremos

Para , podemos facilmente generalizar a fórmula acima:

Usando esse resultado na expressão do valor esperado de encontramos

isto é,

Utilizando essa igualdade na equação

fornece

Reconhecemos a série infinita acima como uma exponencial:

Logo,

Como estamos supondo que é muito grande, podemos utilizar a expansão:

e, portanto,

isto é,

onde

e

Com isso, a equação

pode ser escrita como

Para muito grande, podemos expandir o logaritmo:

isto é,

onde reconhecemos a variância de ou seja,

Então,

Essa é a trasformada de Fourier da densidade de probabilidade que procuramos. Podemos inverter a equação

e obter

Como

concluímos que podemos obter a partir de

Então, da equação

segue que

e, completanto o quadrado no argumento da exponencial no integrando, vem:

isto é,

Como

escrevemos

O valor esperado de é dado por

já que as variáveis são todas independentes e identicamente distribuídas. A variância de é dada por

isto é,

Mas, como as variáveis são todas independentes e identicamente distribuídas, temos:

onde é a função de dois inteiros, e chamada “delta de Kronecker”. Assim,

isto é,

ou seja,

Podemos, então, escrever a densidade de probabilidade para a variável , quando é muito grande, como uma gaussiana:

Acho isso fantástico! 😀 Você não acha? 😎

Música desta postagem: Romanian Folk Dances, Sz. 56 de Béla Bartók, por Monica Alianello

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