O produto escalar entre dois vetores

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É sempre útil conhecer o produto escalar entre dois vetores. Há duas maneiras de tomar esse produto: quando conhecemos o ângulo entre os vetores, bem como seus módulos, e quando conhecemos as componentes desses vetores em um sistema de coordenadas ortogonal, como no cartesiano. No primeiro caso, o produto escalar entre os vetores e escreve-se

onde e são os módulos dos vetores e respectivamente, e é o ângulo entre eles, como indicado na figura abaixo.

Pela lei dos cossenos, sabemos que

como é evidente da figura abaixo.

Elevando ambos os membros da Eq. (2) ao quadrado, obtemos

e, da definição de produto escalar, Eq. (1), o resultado expresso pela Eq. (3) fornece

isto é, podemos rearranjar os termos que aparecem na Eq. (4) e obter

Em termos de componentes, podemos escrever

e

Logo, dadas as Eqs. (6) e (7), segue que

e, portanto, das Eqs. (6), (7) e (8), seguem

 

e

isto é,

que, com um rearranjo dos termos, fornece

Mas, as duas primeiras somas entre parênteses no segundo membro da Eq. (11) são, de acordo com as Eqs. (9) e (10), e e, portanto, podemos reescrever a Eq. (11) como

A substituição da Eq. (12) na Eq. (5) dá

isto é,

ou seja,

que é a segunda maneira de obter o produto escalar entre dois vetores: através de suas componentes ortogonais.

Música desta postagem: Chant intime de Georges Catoire, por Alfonso Bertazzi

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