O processo browniano geométrico revisitado: forma diferencial de Ito

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Como menciono na postagem Introdução ao cálculo estocástico e o lema de Ito, o movimento browniano geométrico pode ser escrito na forma diferencial estocástica de Ito:

onde é o processo de Wiener e é o preço da ação no instante Podemos fazer uma mudança de variável:

onde é um instante de tempo onde o preço do ativo é conhecido, isto é,

Para aplicar o lema de Ito, calculemos:

e, portanto,

isto é,

Logo,

que é a equação diferencial estocástica para o movimento browniano. Assim, a distribuição para fica dada em termos da variável real como

Conforme tende a a distribuição fica cada vez mais próxima de uma função delta centrada na origem. Esse comportamento faz sentido, pois deve ser zero em já que

e, portanto,

Normalmente, sabemos o preço hoje e desejamos a probabilidade de termos um determinado preço no futuro. Seja o tempo futuro e o atual. Assim, a distribuição acima fica

Seguindo a postagem O movimento browniano geométrico, podemos escrever a densidade de probabilidade para o quociente se conhecermos isto é,

O valor esperado de sob a condição de termos o conhecimento exato de no instante atual é denotado por

e é dado por

isto é,

Fazendo a substituição de variável

vem:

Mas,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Podemos simplificar ainda mais essa expressão:

isto é,

ou seja,

e, portanto, como

segue que

isto é,

Mas,

e, assim,

Para o cálculo da variância, temos que calcular:

Como anteriormente, fazendo a substituição de variável

obemos

isto é,

Com isso,

e, assim,

Mas,

Como

segue que

isto é,

Mas,

e, portanto,

Assim, a variância condicional, que podemos denotar por

pode ser escrita como

isto é,

Veja que os resultados

e

já foram obtidos anteriormente, na postagem O movimento browniano geométrico.

😎

Música desta postagem: Minuet in E Flat de Ludwig van Beethoven, por Bruce Siegel

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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