O problema de N corpos

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Na postagem sobre dois corpos mostrei que é possível descrever o movimento de duas partículas em termos de uma parte interna e outra do centro de massa. Essa mesma separação é possível para partículas. Considere partículas de massas …, com vetores posição …, respectivamente. Na postagem sobre conservação de momentum linear foram definidas as coordenadas do centro de massa assim:

onde

é a massa total das partículas. Relativamente ao centro de massa, podemos definir coordenadas relativas da seguinte forma:

para

Energia cinética

A energia cinética do sistema de partículas é dada por

onde usei a derivada temporal da Eq. (3). Então,

isto é,

Note que substituindo a Eq. (3) na Eq. (1) e usando a Eq. (2) obtemos

isto é,

o que implica em

e, consequentemente,

Com esse resultado e a Eq. (2), a Eq. (4) fica

mostrando que a energia cinética se separa em uma contribuição do movimento do centro de massa e outra contribuição do movimento interno, relativo ao centro de massa.

Momentum linear

O momentum linear total do sistema de partículas é dado por

onde usei a derivada temporal da Eq. (3). Assim,

onde usei a Eq. (2). Com o resultado expresso pela Eq. (6), segue que

conforme já deduzimos antes, na postagem sobre conservação de momentum linear.

Momentum angular

O momentum angular total do sistema de partículas, com relação à origem, é dado por

onde usei a Eq. (3) e sua derivada temporal. Assim,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

onde usei as Eqs. (2), (5) e (6). Veja, portanto, que o momentum angular também tem uma contribuição do centro de massa e outra interna.

Embora seja possível escrever as Eqs. (7), (8) e (9), que separam a energia cinética, o momentum e o momentum angular em uma parte interna e outra do centro de massa, as equações de movimento para as partículas dependem do movimento do centro de massa, assim como as forças externas presentes podem depender do estado de movimento interno do sistema. Sejam e as forças interna e externa que agem sobre a -ésima partícula. Então, a segunda lei de Newton dá

Usando a segunda derivada temporal da Eq. (3) dá

isto é,

evidenciando que a equação de movimento para as coordenadas internas da -ésima partícula dependem do movimento do centro de massa e da força externa. Logo, o movimento interno não é, em geral, separável do movimento do centro de massa. Além disso, o movimento do centro de massa, que depende das forças externas, pode depender do movimento interno também, já que as forças externas podem depender do estado interno do sistema. Somente quando as forças externas forem fracas o bastante e a aceleração do centro de massa for desprezível comparado com as acelerações internas é que o movimento interno pode ser separado, aproximadamente, do movimento do centro de massa. Então, nesses casos especiais, o sistema se comporta como uma entidade individual, independente do movimento do centro de massa, como se fosse uma partícula com propriedades internas próprias.

😎

Bibliografia
Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: Chorale Preludes – Wachet auf, ruft uns die Stimme de Johann Sebastian Bach, por Mark Hensley

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