O problema de dois corpos

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Vou supor duas partículas de massas e com vetores posição e respectivamente. Sejam e as forças externas agindo sobre as partículas de massas e respectivamente. Seja a força interna que a partícula de massa exerce sobre a partícula de massa e seja a força interna que a partícula de massa exerce sobre a partícula de massa A segunda lei de Newton aplicada às duas partículas fornece

e

Supondo válida a terceira lei de Newton, temos

Somando, membro a membro, as Eqs. (1) e (2) e usando a Eq. (3), obtemos

O momentum total para o sistema de dois corpos é escrito como

e definimos a força externa total sobre o sistema como

Substituindo as Eqs. (5) e (6) na Eq. (4) resulta em

Logo, a variação do momentum total do sistema de dois corpos é igual à resultante das forças externas agindo sobre o sistema.

Podemos reescrever as Eqs. (1) e (2) assim:

e

Subtraindo a Eq. (9) da Eq. (8) dá

onde usei a Eq. (3) e defini as coordenadas relativas através do vetor

Na ausência de forças externas ou quando as forças externas são tais que

podemos escrever a Eq. (10) como

onde a massa reduzida, é definida como

Logo, do ponto de vista do referencial da partícula de massa a partícula de massa move-se como se tivesse massa e estivesse sob a ação da força Essa propriedade simplifica problemas envolvendo apenas forças internas que satisfazem a terceira lei de Newton, Eq. (3), e que estejam sem influências externas ou quando a Eq. (12) é válida. Um exemplo dessa simplificação ocorre para duas partículas interagindo gravitacionalmente, como ilustrado na postagem Massa reduzida.

Energia cinética

A energia cinética total dessas duas partículas também pode ser separada em dois termos, um referente ao centro de massa e o outro, referente às coordenadas relativas. Para ver isso, note que a energia cinética total é dada por

As coordenadas do centro de massa são dadas por

onde é a massa total, isto é,

Podemos substituir a Eq. (11) na Eq. (16) e obter

onde usei a Eq. (17). Rearranjando a Eq. (18) fornece

Substituindo a Eq. (19) na Eq. (11) obtemos

isto é,

ou seja,

onde usei a Eq. (17) novamente. Substituindo as Eqs. (19) e (20) na Eq. (15) dá

isto é,

ou seja,

onde usei a Eq. (17) de novo. Veja que

onde usei as Eqs. (14) e (17). Substituindo a Eq. (22) na Eq. (21) resulta em

como eu antecipei acima.

Momentum angular

Com relação à origem do sistema de coordenadas, o momentum angular total do sistema de duas partículas é escrito como

Substituindo as Eqs. (19) e (20) na Eq. (24) dá

isto é,

ou seja,

ou ainda,

onde usei a Eq. (17). Portanto, com a definição da massa reduzida, Eq. (14), a Eq. (25) também pode ser escrita como

Veja que também o momentum angular pode ser escrito como a soma de dois termos, um referente ao centro de massa e outro, referente à partícula reduzida, isto é, como se houvesse uma partícula de massa e vetor posição ao invés de duas partículas de massas e

😎

Bibliografia
Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: September (Hunting Song) de Pyotr Ilich Tchaikovsky, por Alfonso Bertazzi

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