O princípio do “hedging” sem risco e a teoria de Black, Scholes e Merton

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Em 1973, Black e Scholes fizeram várias hipóteses para deduzir sua equação para precificar opções de compra do tipo europeu:

  1. as negociações ocorrem continuamente no tempo;
  2. a taxa de juros livre de risco, é conhecida e constante no tempo;
  3. as ações não pagam dividendos;
  4. não há custos de transação, nem impostos;
  5. as ações são perfeitamente divisíveis;
  6. não há nenhum obstáculo para vendas a descoberto;
  7. não há oportunidades de obter lucros sem risco.

Além de Black e Scholes, Robert Carhart Merton também participou da elaboração da teoria, dividindo o prêmio Nobel de economia de 1997 com Myron Scholes. Fischer Black já estava morto em 1997 e, portanto, não foi agraciado com o Nobel.

Money Bear
Creative Commons License photo credit: grahamc99

O preço da ação, é suposto obedecer um movimento browniano geométrico:

onde e são parâmetros constantes. Consideremos uma carteira em que uma opção seja vendida e uma quantidade de ações seja comprada. O valor dessa carteira será dado por

onde representa o preço da opção. Note que denota que a quantidade é multiplicada pelo preço da ação e não a variação do preço da ação. Usamos o lema de Ito para o preço da opção e obtemos

Assim, a variação do valor da carteira fica:

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Veja que se escolhermos

então o valor da carteira não flutuará e teremos:

Nesse caso, o rendimento da carteira será determinístico. Se esse rendimento for menor do que a taxa livre de risco sempre será possível vender um montante enorme da carteira a descoberto, comprar o equivalente em títulos que se valorizam à taxa e realizar lucro sem risco. Caso o rendimento da carteira seja maior do que então será possível tomar uma quantidade enorme de dinheiro emprestado à taxa e investir o montante equivalente na carteira, realizando lucro sem risco. Note que, em ambos os casos, o investidor não desembolsa dinheiro algum e obtém quanto lucro quiser, realizando um retorno infinito. Como, por hipótese, não há taxa de lucro livre de risco maior do que segue que a carteira deve render o mesmo que um investimento livre de risco, isto é,

Logo,

Rearranjando os termos, obtemos

que é a equação de Black e Scholes para o preço de opções de compra do tipo europeu. A condição de contorno aqui é que, no vencimento, o preço da opção será dado por

onde é o chamado strike price, ou o preço de exercício da opção de compra.

😎

Música desta postagem: Années de Pèlerinage (Au Lac de Wallenstadt) de Franz Liszt, por Prasa Kodeeswaran

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2 respostas para “O princípio do “hedging” sem risco e a teoria de Black, Scholes e Merton”

  1. Bom dia, Reginaldo

    Eu fiquei com algumas dúvidas

    1 – Não ficou muito claro para mim qual a motivação de montar a carteira da forma como o senhor montou. Você vendeu uma opção de compra, e para se proteger de possíveis variações no valor das ações até a data de vencimento, você comprou antecipadamente Delta das ações?

    2 – Eu entendo que comprar ∂c/ ∂S ações torna a variação do preço da minha carteira determinística, fora esse motivo, me pareceu um pouco arbitrário o senhor escolher esse valor para a quantia de ações compradas.

    3 – Eu não entendi onde a hipótese (6) foi utilizada durante a demonstração.

    Parabéns pelo conteúdo e obrigado.

  2. Olá, Norton!
    Grato deveras pelo seu comentário!
    Vamos ver se consigo ajudar em suas dúvidas.
    1 – A motivação de montar essa carteira é apenas um artifício para poder precificar a opção. A ideia é fazer desaparecer a flutuação do valor da carteira, isto é, acabar com o risco. Para isso encontramos e impomos um crescimento do valor da carteira à taxa de juros livre de risco.
    2 – Não tem como ser arbitrário: para eliminar a parte proporcional ao ruído não tem outra escolha; só tem essa solução possível para .
    3 – Quando você vende uma opção de compra e não tem o mesmo número de ações que opções vendidas, então você vende opções a descoberto. Normalmente, nas corretoras, você precisa colocar uma garantia para poder ter a margem de venda de opções a descoberto. Isso pode limitar você, pois pode ser que você não tenha como cobrir o valor exigido pela corretora para manter sua posição. Então a hipótese 6 é implicitamente utilizada não limitando o quanto é possível vender a descoberto. Note que se você lança só uma opção, por exemplo, tipicamente é um número menor do que a unidade e, portanto, também precisamos da hipótese 5. Por ser menor do que um, segue que você não está cobrindo a opção lançada (vendida), pois você não compra uma ação inteira. Parte do valor da opção fica descoberto.

    Espero ter esclarecido um pouco suas dúvidas.
    Grato deveras pelo elogio e pelo comentário!

    reginaldo

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