O princípio do “hedging” sem risco e a teoria de Black, Scholes e Merton

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Em 1973, Black e Scholes fizeram várias hipóteses para deduzir sua equação para precificar opções de compra do tipo europeu:

  1. as negociações ocorrem continuamente no tempo;
  2. a taxa de juros livre de risco, é conhecida e constante no tempo;
  3. as ações não pagam dividendos;
  4. não há custos de transação, nem impostos;
  5. as ações são perfeitamente divisíveis;
  6. não há nenhum obstáculo para vendas a descoberto;
  7. não há oportunidades de obter lucros sem risco.

Além de Black e Scholes, Robert Carhart Merton também participou da elaboração da teoria, dividindo o prêmio Nobel de economia de 1997 com Myron Scholes. Fischer Black já estava morto em 1997 e, portanto, não foi agraciado com o Nobel.

Money Bear
Creative Commons License photo credit: grahamc99

O preço da ação, é suposto obedecer um movimento browniano geométrico:

onde e são parâmetros constantes. Consideremos uma carteira em que uma opção seja vendida e uma quantidade de ações seja comprada. O valor dessa carteira será dado por

onde representa o preço da opção. Note que denota que a quantidade é multiplicada pelo preço da ação e não a variação do preço da ação. Usamos o lema de Ito para o preço da opção e obtemos

Assim, a variação do valor da carteira fica:

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Veja que se escolhermos

então o valor da carteira não flutuará e teremos:

Nesse caso, o rendimento da carteira será determinístico. Se esse rendimento for menor do que a taxa livre de risco sempre será possível vender um montante enorme da carteira a descoberto, comprar o equivalente em títulos que se valorizam à taxa e realizar lucro sem risco. Caso o rendimento da carteira seja maior do que então será possível tomar uma quantidade enorme de dinheiro emprestado à taxa e investir o montante equivalente na carteira, realizando lucro sem risco. Note que, em ambos os casos, o investidor não desembolsa dinheiro algum e obtém quanto lucro quiser, realizando um retorno infinito. Como, por hipótese, não há taxa de lucro livre de risco maior do que segue que a carteira deve render o mesmo que um investimento livre de risco, isto é,

Logo,

Rearranjando os termos, obtemos

que é a equação de Black e Scholes para o preço de opções de compra do tipo europeu. A condição de contorno aqui é que, no vencimento, o preço da opção será dado por

onde é o chamado strike price, ou o preço de exercício da opção de compra.

😎

Música desta postagem: Années de Pèlerinage (Au Lac de Wallenstadt) de Franz Liszt, por Prasa Kodeeswaran

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