O preço de uma opção de compra segundo a teoria de Black, Scholes e Merton

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Há opções de compra e de venda, do tipo europeu e do tipo americano. As do tipo americano podem ser exercidas a qualquer momento, em qualquer pregão, até a data do dia de seu vencimento. Isso dificulta um pouco a precificação, pois a data para o exercício, não sendo especificada, torna-se mais uma variável para a avaliação do preço da opção. No Brasil, as opções de venda não são muito líquidas e é por isso que tenho discutido somente opções de compra. Para facilitar a precificação, também vou considerar apenas as opções do tipo europeu, que só podem ser exercidas no dia de seu vencimento.

Já deduzi em outra postagem a equação de Black e Scholes, que é escrita assim:

onde é o preço da opção, é o preço da ação, é a volatilidade e é a taxa de juros livre de risco. Façamos a transformação de variável:

Com isso, temos

e, portanto,

isto é,

ou seja,

Assim, a equação diferencial parcial de Black e Scholes, escrita acima, fica

isto é,

ou seja,

Substituindo, nessa equação, por

resulta em uma equação mais simples:

Para resolver essa equação, podemos escrever em termos de sua transformada de Fourier:

onde

é a transformada de Fourier de com relação a A equação diferencial para pode ser obtida da equação para isto é,

Da independência linear das funções exponenciais, decorre que o integrando acima deve ser nulo:

Assim,

Substituindo essa solução em

resulta em

Da transformada de Fourier de com relação a isto é,

segue que

Usando esse resultado na expressão para

isto é,

onde

Calculemos:

isto é,

O resultado para essa integral pode ser calculado para tempos negativos, isto é,

Assim, obtemos:

Logo,

que só vale para tempos negativos.

Voltemos agora para o problema original de determinar como função do preço e do tempo que deve ser negativo para podermos ter solução. Lembre-se que

e, portanto, para

isto é,

A condição de contorno aqui é

onde é o preço de exercício da opção. Assim, no integrando da equação acima aparece

Tudo o que essa condição nos diz é que o integrando deve ser nulo para

isto é,

ou seja, o integrando deve ser nulo para

Com isso, escrevemos:

isto é,

Aqui é conveniente reconhecermos, na expressão acima, a distribuição normal, que é dada por

Agora, observemos que

Também temos que

isto é,

ou seja,

Assim,

isto é,

e, portanto,

Façamos a substituição de variável:

Assim,

isto é,

Logo,

isto é,

Analogamente,

Substituindo essas últimas integrais na expressão para acima, obtemos:

isto é,

É comum definirmos:

e

isto é,

ou seja,

Logo, podemos escrever:

onde

e



😎

Música desta postagem: Alt-Wien (1933 version) de Leopold Godowsky, por Alfonso Bertazzi

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