O preço da bebedeira ou a bebedeira do preço?

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Imagine o bêbado que vai até um bar e é expulso, na porta, pela proprietária. Depois de vagar pela rua por uma hora, o bêbado volta ao bar e a mesma proprietária o expulsa. 😐 Então vaga por mais de duas horas e acaba retornando ao mesmo bar; a proprietária, pela terceira vez, o expulsa. 🙄 O bêbado então retruca a ela: “Você possui todos os bares desta rua?” 😆 A trajetória do bêbado é chamada de caminho aleatório, pois, como quem já experimentou a vida boêmia sabe ( 😉 ), na bebedeira não dá para caminhar de outra forma senão ao léu. 🙂 Mas aqui não falarei sobre a vida noturna ( 🙁 ), mas sobre como os preços de ativos financeiros se parecem com bêbados caminhando; ou sobre como os bêbados caminhando lembram os preços de ativos financeiros ao longo de sua evolução temporal. 🙂
Stirling Birds and Animals
Creative Commons License photo credit: Stirling Council

O modelo de Bachelier (1900) para o movimento Browniano foi a primeira proposta da dinâmica do preço de um ativo financeiro. Para entendermos o modelo que Bachelier propôs em 1900 para a dinâmica do preço de um ativo financeiro, inicialmente estudamos o movimento aleatório em uma dimensão e depois tomamos seu limite contínuo, definindo o movimento Browniano unidimensional.

Movimento aleatório em uma dimensão

As considerações a seguir são baseadas no livro “Mathematical Models of Financial Derivatives”, de Yue-Kuen Kwok. Imagine uma partícula pontual que possa mover-se apenas ao longo do eixo com passos de tamanho fixo, em ambos os sentidos do eixo Suponhamos ainda que a partícula comece na origem e, a cada passo, tenha probabilidade de dar um passo no sentido positivo, mudando sua posição de e tenha probabilidade , com , de dar um passo no sentido negativo, mudando sua posição de Assim, cada passo da partícula independe de seus passos anteriores, já que as probabilidades e são sempre as mesmas. O valor esperado do deslocamento do -ésimo passo é, portanto,

independentemente de Após passos, a partícula tem a posição dada pela soma de todos os deslocamentos:

Logo, como os passos são todos independentes, o valor esperado da posição da partícula após passos é:

A variância de é, por definição, dada por:

Já calculamos Calculemos agora:

Como os passos são todos independentes,

Logo,

onde utilizamos

Resta-nos calcular:

pois

Assim,

Como segue que

e, portanto,

Logo,

Limite contínuo do movimento aleatório

Aqui calculamos o que acontece quando ou seja, a partícula pode mover-se continuamente e, em cada passo infinitesimal, ainda tem probabilidade de deslocar-se e probabilidade de deslocar-se Seja a probabilidade de que a partícula esteja na posição no instante Suponhamos que a partícula dê passos por unidade de tempo. Assim, o intervalo de tempo entre dois passos é dado por

e, portanto, no limite contínuo, isto é, quando teremos e Antes de tomarmos o limite, podemos dizer que o número de passos no instante é dado por

ou ainda, podemos dizer que o instante de tempo é dado por

Com isso, podemos dizer também que, depois de passos, a partícula tem probabilidade de encontrar-se em no instante No próximo passo, que ocorre no instante a probabilidade de a partícula encontrar-se em é dada por

Para entendermos essa equação, basta pensarmos que, para a partícula estar em no instante pode ter vindo da posição dando um passo no sentido positivo do eixo deslocando-se de ou pode ter vindo de deslocando-se de No primeiro caso, a probabilidade de a partícula estar em no instante anterior a é e a probabilidade de deslocar-se é Logo, a probabilidade de que a partícula tenha vindo da posição é o produto já que para dar um passo no sentido positivo e parar em a partícula precisa, antes, ter estado em Analogamente, é a probabilidade de a partícula ter vindo da posição Como, em a partícula pode ter vindo de ou de segue que a probabilidade de estar em é a soma de com Como temos em mente tomar o limite contínuo fazendo e podemos expandir a equação acima em série de Taylor para as variáveis e

e

Substituindo essas três expansões na equação

obtemos

isto é,

Dividindo tudo por ficamos com

Quando sabemos que também, mas ainda não explicitamos uma dependência de com Também ainda não estabelecemos os valores de

e

quando Para solucionarmos essas indeterminações, seja o valor esperado do deslocamento da partícula por unidade de tempo. Assim, segue de

que

Como

podemos escrever:

isto é,

ou seja,

Então,

Veja que como é uma função de segue que e também devem ser funções de Também definamos como a variância do deslocamento da partícula por unidade de tempo. Portanto, segue de

que

Logo, uma vez que já isolamos e em termos de e podemos expressar a variância por unidade de tempo como

isto é,

Nossa intenção é caracterizar o movimento aleatório contínuo pelos parâmetros finitos e apenas. Isso faz algum sentido? 😕 Sim! Vamos tomar e como funções de , mas tais que sempre satisfazem o vínculo para todo valor de Também vamos tomar e como constantes fixas. Então, porque

fica claro que podemos escrever

supondo que

e, portanto,

Vemos que, nesse caso, quando tender a zero, então tenderá a zero também. Note que, porque é uma função ainda indeterminada de não depende linearmente de embora seja proporcional a No caso particular em que

segue que

e o quociente entre e pode ser qualquer número ou função de , digamos,

Agora vejamos a variância por unidade de tempo, Como

obtemos

Impondo que seja finita, vemos que no limite em que segue

com nulo ou não, já que se segue que quando Em particular, quando segue que

implicando que, nesse caso,

Outra maneira de ver que tende a quando se aproxima de zero, é notar que podemos usar a relação que define isto é,

e calcular o limite

Mas,

onde usei a relação

isto é,

Sem perda de generalidade, para simplificar os cálculos, vou supor que

Assim, temos uma equação de segundo grau em para resolver:

isto é,

ou seja,

cujas possíveis soluções são

que pode também ser escrita como

Veja que a solução com o sinal de menos antes da raiz quadrada não faz sentido quando se aproxima de zero e, portanto, escolhemos

Assim,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Note que podemos escrever

no limite em que se aproxima de zero. Com isso,

isto é,

ou seja,

Logo,

como esperado.

Dessa forma, a equação que descreve a distribuição de probabilidade

pode ser reescrita como

Essa equação, no limite em que e fica assim:

Como vimos,

e, obviamente,

e

Com esses limites, a equação para a probabilidade fica, finalmente,

Essa é a equação de Kolmogorov avançada ou equação de Fokker-Planck.

É fácil ( 😉 ) verificar que a solução para essa equação é dada pela distribuição gaussiana:

que é chamada de solução fundamental da equação de Fokker-Planck unidimensional.

O modelo de Bachelier

Bachelier, em 1900, propôs que o preço de um ativo financeiro fosse descrito por um movimento Browniano contínuo, mas com .

Assim, o modelo de Bachelier tem algumas características não desejáveis:

  • o modelo dá probabilidade não nula para o preço do ativo, , assumir valores negativos, contrariando a condição de responsabilidades limitadas (limited liabilities);
  • Bachelier supôs , sugerindo uma taxa de juros nula, o que não é sempre verdade.

Espero que você tenha apreciado esse processo limite. Tipicamente não é muito comum vermos esse movimento Browniano contínuo nos cursos de graduação. Agora você pode até sair por aí se gabando de ter conhecido a equação de Kolmogorov avançada ou equação de Fokker-Planck. 😎

Música desta postagem: Sonata No.12 in A-flat major, Op.26, II (1798) (Scherzo: Allegro molto) de Beethoven, por Daniel Hoehr

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8 Comments for O preço da bebedeira ou a bebedeira do preço?

  1. Cora said,

    março 2, 2011 @ 11:46

    Se eu tivesse estudado melhor econofísica, talvez tivesse sido mais fácil Estatística na pós!

  2. Cora said,

    março 2, 2011 @ 11:47

    Ou talvez tivesse gastado menos dinheiro com a bebedeira!

  3. Cora said,

    março 2, 2011 @ 11:48

    E hoje estaria mais perto de ser a Bolsista mais rica da Babilônia!

  4. reginaldo said,

    março 2, 2011 @ 15:01

    Olá Cora,
    É, confesso que concordo que econofísica tem algumas coisas parecidas com mecânica estatística. Já não sei se concordo com economizar na bebedeira para ficar mais perto de virar a bolsista mais rica da Babilônia…
    Grato deveras pelos comentários.

  5. Norton said,

    março 16, 2011 @ 20:48

    E se o bebado fosse quantico?

  6. reginaldo said,

    março 16, 2011 @ 21:15

    Olá Norton,
    Grato deveras pelo seu comentário! Boa pergunta! Se o bêbado fosse quântico, estaríamos tratando o movimento browniano quântico. Nesse caso, teríamos que acoplar o grau de liberdade a um ambiente de, digamos, bósons escalares. Então, a equação que descreveria o movimento não seria mais a de Fokker-Planck, mas uma equação mestra que acabaria dando a de Caldeira-Leggett. Corrija-me se estiver enganado! Valeu Norton! Abraços!

  7. Alexandre said,

    fevereiro 11, 2012 @ 11:15

    Estava lendo sobre dívida pública de Portugal e caí aqui.
    Seria desnecessário se os economistas conseguissem fazer analogias.
    É incrível como economistas não conseguem criar analogias.
    Talvez não usem para mostrarem alguma erudição.
    Definitivamente, parece ser uma habilidade de físicos e engenheiros.
    Este “saite” é perfeito para popularizar e vulgarizar (no bom sentido) o conhecimento científico.
    Bacana.

  8. reginaldo said,

    fevereiro 14, 2012 @ 10:34

    Olá Alexandre,
    Grato deveras pelo seu comentário e seus elogios! É! Não sei quanto a economistas e engenheiros, mas nós, físicos, vivemos criando analogias. Quanto a popularizar e vulgarizar (no bom sentido) a ciência, é exatamente isso o que intencionei desde quando criei o Nerdyard. Mais uma vez, grato deveras pelo seu entusiasmo! Valeu mesmo! 🙂

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