O pêndulo simples

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Na postagem sobre rotação em torno de um eixo defini o que é chamado o momento de inércia com relação ao eixo de rotação. Escolhendo o eixo como sendo o eixo de rotação, podemos escrever o momento de inércia de uma massa pontual, a uma distância do eixo como

Suponha que o eixo seja horizontal e perpendicular ao plano de oscilação de um pêndulo simples, consistindo de uma massa presa a uma haste rígida e de massa desprezível, com comprimento Então, de acordo com a postagem sobre rotação em torno de um eixo, o torque é dado por

onde

é o momentum angular com relação ao eixo

Escolhendo o eixo como sendo vertical e apontando para baixo, a força peso é dada por

O vetor posição da massa é dado por

já que com nossa escolha de eixos coordenados o plano de oscilação é o plano Dessa forma, o torque também é dado por

Das Eqs. (2) e (6) segue que

e, usando a Eq. (1), vem

isto é,

que é a equação de movimento para o pêndulo simples. Para pequenas oscilações e a Eq. (7) dá um movimento harmônico de frequência angular

e período

Seguindo o livro do Symon [1], devemos levar em conta oscilações com amplitudes mais amplas e tentar resolver a Eq. (7) sem aproximações. Multiplicando a Eq. (7) por vem

isto é,

ou seja,

ou ainda,

mostrando que a quantidade entre parênteses é conservada. Observe que a energia cinética é dada por

Derivando a Eq. (5) com relação ao tempo dá

e, elevando ao quadrado, dá

que, substituindo na Eq. (9), fornece

isto é,

Com a substituição da Eq. (10) na Eq. (8) vem

isto é,

ou seja,

sugerindo a definição desta constante de movimento como a energia total do pêndulo simples:

já que ambos os termos do membro direito dessa quantidade têm dimensão de energia. Se é a energia cinética, então

é a energia potencial.

Uma maneira de tentar resolver este problema é usar a constante de movimento que já temos, Eq. (11), reescrevendo-a como

onde usei a Eq. (10). Então, rearranjando os termos e extraindo a raiz quadrada fornece

isto é,

ou seja,

ou ainda,

onde é o valor do ângulo em

Observe a Eq. (13). Se a energia total é maior do que a velocidade angular não se anula para valor algum de Nesse caso, o movimento do pêndulo é tal que a partícula de massa dá voltas completas em torno do eixo Quando a energia total é menor do que existe um ângulo máximo em que a velocidade angular se anula e, de acordo com a Eq. (13), isso ocorre para o ângulo que satisfaz

Nessa situação, o movimento é tal que o pêndulo fica oscilando em torno de indo desde até Então, substituindo a Eq. (15) na Eq. (14) dá

O que o livro do Symon [1] faz com a Eq. (16) é trocar de variável de integração para poder expressá-la em termos de uma integral elíptica padrão. Então, observe que

isto é,

ou seja,

ou ainda,

O quociente varia de até conforme varia desde até Logo, esse quociente pode ser definido como o seno de um novo ângulo:

onde, para simplificar a notação, definimos

Substituindo a Eq. (18) na Eq. (17) dá

Diferenciando a Eq. (17) produz

isto é,

Substituindo as Eqs. (19) e (20) na Eq. (16) resulta em

isto é,

onde tomei para simplificar o raciocínio; basta escolher a origem do eixo temporal quando o ângulo dá zero. Note que quando o seno de e, portanto, já que podemos tomar Como o ângulo fica restrito aos valores entre os extremos de forma contínua, então o ângulo restrito aos valores entre os extremos forma uma relação biunívoca com ângulo Com essa definição do domínio de podemos escrever

e a Eq. (21) pode ser reescrita como

isto é,

ou seja,

onde usei a Eq. (18) e, portanto,

Note que aqui estou usando a Eq. (18) para definir o limite como Como o ângulo fica restrito aos valores entre os extremos e quando de acordo com a Eq. (15), segue que varia em um intervalo interno ao intervalo Logo,

com sinal positivo. Portanto, a Eq. (22) fica

isto é,

onde usei a Eq. (18). A integral no membro esquerdo da Eq. (23) é uma integral elíptica padrão.

Caso em que é um parâmetro pequeno

Quando é um número pequeno, muito menor do que a unidade, podemos expandir o integrando da Eq. (23). Vou fazer essa expansão em detalhe, para complementar a exposição do livro do Symon. Seja

uma função de A expansão em série de Taylor em potências de é dada por

Mas,

e

Substituindo as Eqs. (24), (26) e (27) na Eq. (25) dá

A substituição da Eq. (28) na Eq. (23) resulta em

que, integrando termo a termo, dá

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Veja que em Logo, como varia entre e quando o tempo for um quarto do período o ângulo será e, portanto, nesse instante a Eq. (29) dá

isto é,

ou seja,

mostrando a correção ao período para pequenas oscilações, como discutido logo abaixo da Eq. (7).

A Eq. (29) pode ser rearranjada assim:

isto é, usando a expansão

podemos expressar como

ou seja,

Veja que, como

segue que muito menor do que a unidade implica que também deve ser muito menor do que a unidade e, portanto,

Com isso,

e a Eq. (31) pode ser escrita como

onde definimos

Podemos inserir o valor de da Eq. (32) no lugar do que aparece no segundo termo do segundo membro da Eq. (32), fazendo uma iteração:

isto é,

ou seja,

ou ainda,

onde mantive, explicitamente, apenas termos de ordem e usei as expansões de seno e cosseno para pequenos argumentos:

e

A substituição da Eq. (34) na Eq. (18) resulta em

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Podemos rearranjar a Eq. (35) assim:

que podemos iterar mais uma vez para obter

isto é,

ou seja, usando

e mantendo explicitamente termos até ordem de

ou ainda,

Note que

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Substituindo a Eq. (37) na Eq. (36) dá

Para escrever a Eq. (38) como a resposta do livro do Symon [1], note que

e

Somando membro a membro as Eqs. (39) e (40) dá

isto é,

Substituindo a Eq. (41) na Eq. (38) resulta em

isto é,

que é idêntica à resposta do livro do Symon [1].

😎

Bibliografia

[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: Sinfonia No. 11 in G minor de Johann Sebastian Bach, por Joe Renouf

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