O pêndulo de Foucault

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Para verificar a rotação da Terra, Foucault desenvolveu seu pêndulo. Uma pequena massinha fica pendurada em um fio muito longo e oscila, realizando pequenas oscilações, em um plano inicialmente fixo. Depois de um tempo, por causa da força de Coriolis, é observado que, na verdade, esse plano gira com velocidade angular dependente da latitude local. Seja a velocidade angular de rotação da Terra em torno de seu eixo. Vou adotar um sistema de coordenadas com eixos e fixos no espaço. Vou escolher o eixo ao longo do vetor isto é, o eixo de rotação da Terra é batizado de eixo no sistema de coordenadas Seja a posição de equilíbrio da massinha onde “posição de equilíbrio” significa a posição onde o pêndulo não oscila, embora acompanhe o movimento de rotação da Terra. No referencial esse vetor posição gira em torno do eixo com frequência angular Vou escolher a origem do sistema de coordenadas no centro da Terra.


Pêndulo de Foucault no Houston Museum of Natural Science (YouTube: http://www.youtube.com/watch?v=nB2SXLYwKkM&feature=player_embedded#!, por maxwellsdaemon7)

Agora vou definir um sistema de coordenadas que gira em torno do centro da Terra, com relação ao qual o vetor posição fica fixo. Vou tomar o novo eixo como sendo a vertical local, isto é, aquela que é experimentalmente determinada por um fio de prumo na região de interesse, que passa pelo ponto de equilíbrio dado pelo vetor posição

Como vimos na postagem sobre a equação de movimento na Terra em rotação, a equação de movimento para o vetor posição da massinha no referencial é dada por

onde

O segundo termo no segundo membro da Eq. (2) é a aceleração centrífuga. Uma forma mais familiar desse termo pode ser obtida em coordenadas cilíndricas, escrevendo, no referencial

e

Então, usando as Eqs. (3) e (4), podemos calcular:

e, portanto,

Na postagem O fio de prumo e a vertical local vemos que, próximo à superfície da Terra, podemos desprezar a magnitude da aceleração centrífuga, Eq. (5), em comparação com a magnitude da aceleração da gravidade padrão, de forma que a Eq. (2) pode ser aproximada por

e, escrevendo

a Eq. (1) fica, aproximadamente,

Com relação ao referencial o versor gira em torno de eixo com velocidade angular e escrevemos:

onde é o ângulo entre o eixo de rotação da Terra e a vertical que passa pela posição de equilíbrio em O ângulo é chamado de colatitude, isto é, o ângulo entre o eixo de rotação da Terra e os pontos sobre a superfície da Terra com latitude dada por Vou definir o eixo como aquele que aponta para o norte, com versor

e vou definir o eixo como aquele que aponta para o leste, com versor

Note que os versores e são, de fato, ortonormais e, usando as Eqs. (10) e (11), obtemos

isto é,

ou seja,

e, portanto, comparando com a Eq. (9), vemos que

Pela discussão inicial acima, o vetor é dado pela Eq. (4). Mas pode ser escrito em termos de suas componentes no referencial como

Das Eqs. (9), (10) e (11) obtemos

e

A substituição das Eqs. (14), (15) e (16) na Eq. (13) produz

A substituição da Eq. (17) na Eq. (4) dá

Vamos pendurar a massinha de um ponto acima da posição de equilíbrio, a uma altura igual ao comprimento do fio, ao longo da vertical local que define o eixo Nesse caso, o ponto onde o fio é preso fica na posição

A partir dessa posição a posição da massinha será dada por

Então, usando a Eq. (19), podemos reescrever a Eq. (20) como

isto é,

A força de tensão que o fio exerce sobre a massinha é sempre ao longo do fio e, portanto, a massinha sofre a ação de uma tensão assim:

já que o fio se estende desde o ponto até o ponto onde fica a massinha que é dado pelo vetor posição Usando a Eq. (20), concluímos que

Neste ponto de nossa discussão é conveniente definirmos o vetor posição da massinha relativamente ao ponto de equilíbrio, isto é, a partir de Então, seja

esse vetor posição relativo à posição de equilíbrio Note que a coordenada ao longo do eixo do vetor não é apenas mas é definida como Logo, a Eq. (21) pode ser reescrita como

Substituindo a Eq. (24) na Eq. (8), obtemos

Por definição, a posição de equilíbrio ocorre quando e, da Eq. (21) vemos que isso ocorre quando Agora vamos considerar pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio, já que é esse o caso de um pêndulo de Foucault. Isso quer dizer que permanece sempre muito próximo de Como na posição de equilíbrio e são nulos, então, para pequenos deslocamentos de e devem permanecer pequenos em módulo. E quanto a que, na posição de equilíbrio, deve ser igual a Para responder a essa questão, note que o comprimento do fio, é fixo. Portanto, a distância da massinha até o ponto de suspensão deve ser sempre igual a para toda posição da massinha, isto é,

Usando a Eq. (20), vemos que a Eq. (26) resulta em

Logo,

e, portanto,

Note que escolhi negativo, já que estamos analisando sua variação próxima à posição de equilíbrio, que, como vimos, implica em Até primeira ordem nos deslocamentos pequenos, e a Eq. (27) fornesse a aproximação que devemos adotar para

Portanto, substituindo a Eq. (28) na Eq. (23), obtemos para pequenos deslocamentos em torno de

Como a intenção aqui é substituir a Eq. (29) na Eq. (25), calculemos:

Portanto, derivando a Eq. (30), obtemos

Das Eqs. (18) e (30), obtemos

isto é,

ou seja,

Das Eqs. (22), (28) e (29) segue que

A Eq. (33) é válida para pequenos deslocamentos, mantendo apenas termos de primeira ordem em e

Agora devemos substituir as Eqs. (30), (31), (32) e (33) na Eq. (25). A componente ao longo do versor fica

A componente ao longo do versor fica

A componente ao longo do versor fica

isto é,

Podemos agora substituir a Eq. (36) na Eq. (34) e obter

Portanto, até primeira ordem em e a Eq. (37) fica

isto é,

Analogamente, substituindo a Eq. (36) na Eq. (35), obtemos

Até primeira ordem em e a Eq. (39) fica

ou seja,

Veja que, fazendo nas Eqs. (38) e (40), obtemos um sistema de dois osciladores harmônicos desacoplados, cada um com frequência natural de oscilação dada por

Tomando a aceleração da gravidade como

e o comprimento típico de um pêndulo de Foucault da ordem de

obtemos

e substituindo esse resultado na Eq. (41), obtemos

Essa frequência é muito maior do que a frequência de rotação da Terra, que é da ordem de rad/s, de acordo com a postagem O fio de prumo e a vertical local. Só para considerar essas magnitudes em termos mais intuitivos, o período correspondente à frequência da Eq. (42) é dado por

que é muito mais curto do que o período de horas que dura uma rotação da Terra, aproximadamente.

As Eqs. (38) e (40) descrevem um pêndulo que tem seu plano de oscilação girando em torno da vertical com velocidade angular dada por

Para ver isso, podemos reescrever as Eqs. (38) e (40) em forma vetorial como

onde já usei a Eq. (44). Agora, com inspiração proveniente do livro do Symon [1], consideremos um referencial que gira em torno do eixo com velocidade angular constante, supondo que as origens de e coincidam. Procedendo de acordo com a postagem Sistemas de coordenadas em movimento, obtemos

e

Substituindo as Eqs. (45) na Eq. (47), obtemos

isto é, com a substituição da Eq. (46),

ou seja,

Escolhendo

vemos que a Eq. (48) fica

isto é, usando as Eqs. (29) e (44),

ou seja,

ou ainda,

A Eq. (50), no sistema de coordenadas que gira em torno de com velocidade angular é uma equação de movimento que não apresenta a força de Coriolis. Além disso, a Eq. (50) descreve o movimento de um oscilador harmônico bidimensional no plano com frequência natural dada por Nesse sistema de coordenadas, se o pêndulo inicia suas oscilações em um plano fixo, então, pela Eq. (50), permanece oscilando no mesmo plano. No sistema de coordenadas portanto, o plano de oscilação do pêndulo de Foucault permanece fixo. Logo, como o sistema de coordenadas gira com velocidade angular com relação ao sistema de coordenadas segue que o plano de oscilação do pêndulo de Foucault também gira com velocidade angular com relação ao sistema de coordenadas exibindo concordância com as observações empíricas.

😎

Bibliografia

[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: Venezia e Napoli (Gondoliera) de Franz Liszt, por Joe Renouf

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